2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件 同步达标测评*Word版含答案

2.3确定圆的条件
一．选择题
1．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（　　）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
2．已知△ABC，AC＝3，CB＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　）
A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4
3．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　）
A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4
4．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m＞﹣2 C．﹣2＜m＜4 D．m＜﹣2或m＞4
5．A、B、C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则（　　）
A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A、B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆内
6．下列说法正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
7．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点上，半径为2，则下面各点在⊙O上的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣2）
8．△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以A为圆心，以3为半径，则点C与⊙A的位置关系为（　　）
A．点C在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．点C在⊙A外 D．点C在⊙A上或点C在⊙A外
二．填空题
9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为　 　．
10．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　 　度．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 　．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC＝　 　．
三．解答题
13．如图，OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是　 　．
14．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．
（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；
（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．
15．如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）求直线CD的函数解析式；
（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．
16．已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP＝PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，BP，那么结论AP+BP＝PC还成立吗？试证明你的结论．
17定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　 　．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
18．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
19．已知AB C三点．根据下列条件，说明A、B、C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
（1）AB＝2+1，BC＝4，AC＝2﹣1；
（2）AB＝AC＝10，BC＝12．
参考答案
一．选择题
1．解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），
∴OP＝＝13，
∵⊙P的半径为13，
∴OP＝r，
∴原点O在⊙P上．
故选：B．
2．解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r＞3；
点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；
即3＜r≤4．
故选：C．
3．解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选：D．
4．解：以A（1，0）为圆心，以3为半径的圆交x轴两点的坐标为（﹣2，0），（4，0），
∵点B（m，0）在以A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，
∴﹣2＜m＜4．
故选：C．
5．解：∵A，B，C是平面内的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，
∴AB+BC＝AC，
∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
故选：D．
6．解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
B、三角形的外心大三角形三顶点的距离相等，故错误；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、等弧所对的圆心角相等，故正确，
故选：D．
7．解：点（1，1）到圆心的距离是＜2，故在圆内，
点（﹣1，）到圆心的距离为2＝r，在圆上，
点（﹣2，﹣1）到圆心的距离为＞2，在圆外，
点（2，﹣2）到圆心的距离为2＞2，在圆外．
故选：B．
8．解：由勾股定理得：AC＝＝＝3，
∵AC＝3＝3，
∴点C与⊙A的位置关系是点C在⊙A上，
故选：B．
二．填空题
9．解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
10．解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
11．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
12．解：OA交BC于D，如图，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，BD＝CD，
在Rt△ADC中，AD＝AC＝×2＝1，
CD＝AD＝，
∴BC＝2CD＝2．
故答案为2．
三．解答题
13．解：如图所示：E点即为圆心，
∵OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，
∴∠EOA＝∠BOE＝60°，AF＝FO＝1，
故EF＝tan60°FO＝，
故圆心的坐标为：（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）．
14．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝120°；
（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，
如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP＝2r，
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB＝30°，
在Rt△OAD中，
∵OD＝OA＝，
∴CD＝+r＝，
∴CD：CP＝：2r＝3：4；
（3）PC＝AP+PB
证明：方法一：
如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB＝BQ，
∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，
∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，
∴∠ABQ＝∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，
∴△ABQ≌△CBP，
∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB，即PC＝AP+PB；
方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，
∵∠CPB＝60°，
∴△PBM是等边三角形，
∵∠CMB＝120°，
∴∠CMB＝∠APB，
∴△APB≌△CMB，
∴PC＝AP+PB；
方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，
先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，
从而PC＝AP+PB．
15．解：（1）C为弧OB的中点．理由如下：
连接AC；∵OC⊥OA，
∴AC为圆的直径，
∴∠ABC＝90°；
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝∠BAO＝60°，
∵∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠COB＝∠OBC＝30°，
∴弧OC＝弧BC；（2分）
即C为弧OB的中点．
（2）过点B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA＝2，
∴OE＝1，BE＝，
∴点B的坐标是（1，）；
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO＝∠OCD＝30°，
∴，
∴C（0，）；
（3）在△COD中，∠COD＝90°，，
∵∠OCD＝∠CAO＝∠COD＝30°，
∴DC＝2DO，
∵CD2＝DO2+CO2，
∴（2OD）2＝DO2+CO2，
∴OD＝，
则有D（﹣，0）；
∴直线CD的解析式为：
（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO＝∠DCP＝60°，
∴∠OCP＝∠COB＝30°，
∴PC＝PO（8分）；
过点P作PF⊥OC于F，则OF＝OC＝，
∴PF＝，
∴点P的坐标为：（，）．
16．证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC＝∠BPC＝60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∴AP＝BP＝PC，
∴AP+BP＝PC；
（2）成立．
在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD；
∵∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD＝PD；
∵∠PAD＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
∵AP＝AD，AB＝AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB＝DC，
∴PA+PB＝PD+DC＝PC．
17．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
18．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
由（1）知：BD＝CD
∴DB＝DE＝DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
19．解：（1）∵2+1+2﹣1＝4，
∴AB+AC＝BC，
∴A、B、C三点共线，
∴不能确定一个圆；
（2）∵10+10＝20＞12，
∴A、B、C三点不共线，
∴能确定一个圆；
过A作AD⊥BC，连接BO，
∵BC＝12，
∴DB＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝8，
设OB＝x，则DO＝8﹣x，
x2﹣62＝（8﹣x）2，
解得：x＝．
∴A、B、C三点能确定一个圆，半径为．