2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件 同步达标测评*Word版含答案

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名称 2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件 同步达标测评*Word版含答案
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2022-01-07 23:23:28

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文档简介

2.3确定圆的条件
一.选择题
1.若⊙P的半径为13,圆心P的坐标为(5,12),则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是(  )
A.在⊙P内 B.在⊙P上 C.在⊙P外 D.无法确定
2.已知△ABC,AC=3,CB=4,以点C为圆心r为半径作圆,如果点A、点B只有一个点在圆内,那么半径r的取值范围是(  )
A.r>3 B.r≥4 C.3<r≤4 D.3≤r≤4
3.⊙O的半径为4,点P到圆心O的距离为d,如果点P在圆内,则d(  )
A.d<4 B.d=4 C.d>4 D.0≤d<4
4.如图,⊙A的半径为3,圆心A的坐标为(1,0),点B(m,0)在⊙A内,则m的取值范围是(  )
A.m<4 B.m>﹣2 C.﹣2<m<4 D.m<﹣2或m>4
5.A、B、C为平面上的三点,AB=2,BC=3,AC=5,则(  )
A.可以画一个圆,使A、B、C都在圆周上
B.可以画一个圆,使A、B在圆周上,C在圆内
C.可以画一个圆,使A、C在圆周上,B在圆外
D.可以画一个圆,使A、C在圆周上,B在圆内
6.下列说法正确的是(  )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的圆心角相等
7.在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在原点上,半径为2,则下面各点在⊙O上的是(  )
A.(1,1) B.(﹣1,) C.(﹣2,﹣1) D.(2,﹣2)
8.△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以A为圆心,以3为半径,则点C与⊙A的位置关系为(  )
A.点C在⊙A内 B.点C在⊙A上
C.点C在⊙A外 D.点C在⊙A上或点C在⊙A外
二.填空题
9.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为   .
10.如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是   度.
11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,过A,B,C三点作一圆弧,则圆心的坐标是   .
12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,AB=AC=2,则弦BC=   .
三.解答题
13.如图,OA=OB,点A的坐标是(﹣2,0),OB与x轴正方向夹角为60°,请画出过A,O,B三点的圆,写出圆心的坐标是   .
14.如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC,连接BC,作△ABC的外接圆⊙O,点P为劣弧上的一个动点,弦AB、CP相交于点D.
(1)求∠APB的大小;
(2)当点P运动到何处时,PD⊥AB?并求此时CD:CP的值;
(3)在点P运动过程中,比较PC与AP+PB的大小关系,并对结论给予证明.
15.如图,在直角坐标系xoy中,点A(2,0),点B在第一象限且△OAB为等边三角形,△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D.
(1)判断点C是否为弧OB的中点?并说明理由;
(2)求B、C两点的坐标;
(3)求直线CD的函数解析式;
(4)点P在线段OB上,且满足四边形OPCD是等腰梯形,求点P坐标.
16.已知:⊙O是正三角形ABC的外接圆.
(1)如图1,若PC为⊙O的直径,连接AP,BP,求证:AP+BP=PC;
(2)如图2,若点P是弧AB上任一点,连接AP,BP,那么结论AP+BP=PC还成立吗?试证明你的结论.
17定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段   .
(2)在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(3)如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连接BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由.若此时AB=3,BD=,求BC的长.
18.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.
19.已知AB C三点.根据下列条件,说明A、B、C三点能否确定一个圆.如果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)AB=2+1,BC=4,AC=2﹣1;
(2)AB=AC=10,BC=12.
参考答案
一.选择题
1.解:∵圆心P的坐标为(5,12 ),
∴OP==13,
∵⊙P的半径为13,
∴OP=r,
∴原点O在⊙P上.
故选:B.
2.解:当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径,即:r>3;
点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径,即:r≤4;
即3<r≤4.
故选:C.
3.解:∵点P在圆内,且⊙O的半径为4,
∴0≤d<4,
故选:D.
4.解:以A(1,0)为圆心,以3为半径的圆交x轴两点的坐标为(﹣2,0),(4,0),
∵点B(m,0)在以A(1,0)为圆心,以3为半径的圆内,
∴﹣2<m<4.
故选:C.
5.解:∵A,B,C是平面内的三点,AB=2,BC=3,AC=5,
∴AB+BC=AC,
∴可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆内.
故选:D.
6.解:A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误;
B、三角形的外心大三角形三顶点的距离相等,故错误;
C、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故错误;
D、等弧所对的圆心角相等,故正确,
故选:D.
7.解:点(1,1)到圆心的距离是<2,故在圆内,
点(﹣1,)到圆心的距离为2=r,在圆上,
点(﹣2,﹣1)到圆心的距离为>2,在圆外,
点(2,﹣2)到圆心的距离为2>2,在圆外.
故选:B.
8.解:由勾股定理得:AC===3,
∵AC=3=3,
∴点C与⊙A的位置关系是点C在⊙A上,
故选:B.
二.填空题
9.解:如图所示:
∵O是△ABC的外心,∠BOC=80°,
∴∠A=40°,
∠A′=180°﹣∠A=140°,
故∠BAC的度数为:40°或140°
故答案为:40°或140°.
10.解:连接OA,OB,
∵△ABC是⊙O的内接正三角形,
∴∠AOB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠OAD=30°,
∴∠OAD=∠OBE,
∵AD=BE,
∴△OAD≌△OBE(SAS),
∴∠DOA=∠BOE,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠BOE=∠AOB=120°,
故答案为:120.
11.解:根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,1).
故答案为:(2,1).
12.解:OA交BC于D,如图,
∵∠AOB=60°,
∴∠C=∠AOB=30°,
∵AB=AC,
∴=,
∴OA⊥BC,BD=CD,
在Rt△ADC中,AD=AC=×2=1,
CD=AD=,
∴BC=2CD=2.
故答案为2.
三.解答题
13.解:如图所示:E点即为圆心,
∵OA=OB,点A的坐标是(﹣2,0),OB与x轴正方向夹角为60°,
∴∠EOA=∠BOE=60°,AF=FO=1,
故EF=tan60°FO=,
故圆心的坐标为:(﹣1,).
故答案为:(﹣1,).
14.解:(1)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵∠APB+∠ACB=180°,
∴∠APB=120°;
(2)当点P运动到的中点时,PD⊥AB,
如图1,连接PC,OA,OB,设⊙O的半径为r,则CP=2r,
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆,
∴∠OAB=30°,
在Rt△OAD中,
∵OD=OA=,
∴CD=+r=,
∴CD:CP=:2r=3:4;
(3)PC=AP+PB
证明:方法一:
如图2,在AP的延长线上取点Q,使PQ=PB,连接BQ,
∵∠APB=120°,
∴∠BPQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴PB=BQ,
∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP,
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP,
∴∠ABQ=∠CBP,
在△ABQ和△CBP中,PB=QB,∠CBP=∠ABQ,CB=AB,
∴△ABQ≌△CBP,
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB;
方法二:如图3,B为圆心,BP为半径画圆交CP于点M,连接BM,
∵∠CPB=60°,
∴△PBM是等边三角形,
∵∠CMB=120°,
∴∠CMB=∠APB,
∴△APB≌△CMB,
∴PC=AP+PB;
方法三:(略证)如图4,以A为圆心,A为半径画圆交CP于N,连接AN,
先证△APN是等边三角形,再证△ANC≌△APB,
从而PC=AP+PB.
15.解:(1)C为弧OB的中点.理由如下:
连接AC;∵OC⊥OA,
∴AC为圆的直径,
∴∠ABC=90°;
∵△OAB为等边三角形,
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°,
∵∠ACB=∠AOB=60°,
∴∠COB=∠OBC=30°,
∴弧OC=弧BC;(2分)
即C为弧OB的中点.
(2)过点B作BE⊥OA于E;
∵A(2,0),
∴OA=2,
∴OE=1,BE=,
∴点B的坐标是(1,);
∵C为弧OB的中点,CD是圆的切线,AC为圆的直径,
∴AC⊥CD,AC⊥OB,
∴∠CAO=∠OCD=30°,
∴,
∴C(0,);
(3)在△COD中,∠COD=90°,,
∵∠OCD=∠CAO=∠COD=30°,
∴DC=2DO,
∵CD2=DO2+CO2,
∴(2OD)2=DO2+CO2,
∴OD=,
则有D(﹣,0);
∴直线CD的解析式为:
(4)∵四边形OPCD是等腰梯形,
∴∠CDO=∠DCP=60°,
∴∠OCP=∠COB=30°,
∴PC=PO(8分);
过点P作PF⊥OC于F,则OF=OC=,
∴PF=,
∴点P的坐标为:(,).
16.证明:(1)∵△ABC为正三角形,
∴∠APC=∠BPC=60°,
∵PC为⊙O的直径,
∴∠PAC=∠PBC=90°,
∴AP=BP=PC,
∴AP+BP=PC;
(2)成立.
在PC上取一点D,使PD=PA,连接AD;
∵∠APD=60°,
∴△APD为等边三角形,
∴AD=PD;
∵∠PAD=∠BAC=60°,
∴∠PAB=∠DAC,
∵AP=AD,AB=AC,
∴△APB≌△ADC,
∴PB=DC,
∴PA+PB=PD+DC=PC.
17.解:(1)只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.因此AC是该损矩形的直径;
(2)作图如图:
∵点P为AC中点,
∴PA=PC=AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BP=DP=AC,
∴PA=PB=PC=PD,
∴点A、B、C、D在以P为圆心,AC为半径的同一个圆上;
(3)∵菱形ACEF,
∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形,
∴由(2)可知,点A、B、C、D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴,
∴AD=CD,
∴四边形ACEF为正方形.
∵BD平分∠ABC,BD=,
∴点D到AB、BC的距离h为4,
∴S△ABD=AB×h=2AB=6,
S△ABC=AB×BC=BC,
S△BDC=BC×h=2BC,S△ACD=S正方形ACEF=AC2=(BC2+9),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+(BC2+9)=6+2BC
∴BC=5或BC=﹣3(舍去),
∴BC=5.
18.(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,
∴由垂径定理得:
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD.
(2)解:B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:,
∴∠1=∠2,
又∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠4=∠5,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.(7分)
19.解:(1)∵2+1+2﹣1=4,
∴AB+AC=BC,
∴A、B、C三点共线,
∴不能确定一个圆;
(2)∵10+10=20>12,
∴A、B、C三点不共线,
∴能确定一个圆;
过A作AD⊥BC,连接BO,
∵BC=12,
∴DB=6,
∵AB=10,
∴AD==8,
设OB=x,则DO=8﹣x,
x2﹣62=(8﹣x)2,
解得:x=.
∴A、B、C三点能确定一个圆,半径为.