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北师版八年级下册数学1.1.4等边三角形的判定教学设计
课题 1.1.4 等边三角形的判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．2.在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3.培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
重点 等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.
难点 等边三角形性质和判定方法的应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 等边三角形有哪些性质？(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．你能画一个等边三角形吗？ 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 三条边相等的三角形是等边三角形（定义）从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？ 学生思考回答问题。学生在练习本上画等边三角形。 通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的区别与联系.
讲授新课 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.证明：∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC.∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.想一想怎样证明这个猜想？证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.求证： △ABC是等边三角形 .证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C.又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ，∴ △ABC是等边三角形 .等边三角形的判定方法：1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵∠A＝∠B＝∠ C，∴ △ABC是等边三角形.3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．推导过程：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．【做一做】用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.你能证明你的结论吗？已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°求证： BC＝AB.分析：证明“线段的倍、分”问题转 化“线段相等”问题证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴ BC＝ BD＝AB.【总结归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中∵∠A＝30°∴ BC＝AB求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°. CD是腰AB上的高.求证： CD=AB.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.∴CD＝AC. ∴CD=AB. 教师演示等边三角形的作法，并让学生仔细观察.结合活动中的问题探索，引导学生从边与角的角度探索等边三角形的判定.学生相互交流探究证法，教师参与讨论.集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间.学生在教师的引导下总结等边三角形的判定方法。观察图形，分析数量关系学生思考并作答，教师注意学生书写的证明过程是否规范。学生总结归纳。学生根据所学知识做练习。 培养学生的探究精神，引导学生把等腰三角形的性质判定与等边三角形的性质判定进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键。学生相互交流探究证法，教师参与讨论。集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间。及时巩固所学知识，了解学生的学习效果。增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力。
课堂练习 1.如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是 ( C )A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CDC．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形( D )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( D )A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④4.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD；(2)求AD的长．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD.（2）解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．(1)求∠CAE的度数；解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°.∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠CAE＝120°－30°＝90°.(2)求证：△ADE是等边三角形．证明：∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，∴AE＝EC.又∵D为EC的中点，∴ED＝EC. ∴AE＝ED.又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，∴△ADE是等边三角形．7.【中考·西宁】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( D )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BD＝2CD D．CD＝ED8.【中考·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( C )A．12 B．15 C．18 D．21 学生做练习，巩固所学知识。 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果。增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形2.特殊的直角三角形的性质在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
板书 课题：1.1.4 等边三角形的判定一、等边三角形的判定方法二、特殊的直角三角形的性质
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1.1.4 等边三角形的判定
北师版 八年级下册
新知导入
等边三角形有哪些性质？
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
新知导入
你能画一个等边三角形吗？
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
三条边相等的三角形是等边三角形（定义）
从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？
新知讲解
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
A
C
B
新知讲解
思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
想一想怎样证明这个猜想？
新知讲解
证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C.
又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，
∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.
∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ，
∴ △ABC是等边三角形 .
证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.
求证： △ABC是等边三角形 .
A
C
B
新知讲解
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝∠B＝∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.
A
C
B
等边三角形的判定方法：
新知讲解
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
新知讲解
【做一做】
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
新知讲解
【做一做】
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能拼出一个等边三角形吗？
由此你能发现什么结论？
60°
60°
60°
新知讲解
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
你能证明你的结论吗？
新知讲解
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°
求证： BC＝ AB.
（1）
分析：证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
新知讲解
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°
求证： BC＝ AB.
（2）
D
证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
新知讲解
【总结归纳】
几何语言：在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
新知讲解
求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证： CD= AB.
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵ CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC. ∴CD= AB.
课堂练习
1.如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是
( )
A．AB＝AC，∠B＝∠C
B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C
课堂练习
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
课堂练习
3.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；
④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
课堂练习
4.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( )
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
B
课堂练习
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD.
∴BE＝AD.
5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD的长．
课堂练习
解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.
∴AD＝7.
(2)求AD的长．
拓展提高
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．
(1)求∠CAE的度数；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ ×(180°－120°)＝30°.
∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
拓展提高
(2)求证：△ADE是等边三角形．
证明：
∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，∴AE＝ EC.
又∵D为EC的中点，∴ED＝ EC. ∴AE＝ED.
又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
中考链接
7.【中考·西宁】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是
( )
A．∠CAD＝30°
B．AD＝BD
C．BD＝2CD
D．CD＝ED
D
中考链接
8.【中考·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
A．12
B．15
C．18
D．21
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.等边三角形的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
2.特殊的直角三角形的性质
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
板书设计
课题：1.1.4 等边三角形的判定
教师板演区
学生展示区
一、等边三角形的判定方法
二、特殊的直角三角形的性质
作业布置
课本 P13 练习题
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