天津市和平区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

天津市和平区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，.则（ ）
A. B. C. D.
2.已知且，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.若，且，则（ ）
A. B.6 C. D.
7.已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为，若与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C. D.
8.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为；
②是函数图象的一个对称中心；
③函数图象的一个对称轴方程为；
④函数在区间上单调递增
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知，设函数，若关于的方程恰有两个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2.本卷共11题，共105分.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10.已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______.
11.过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为______.
12.设曲线在点处的切线与直线垂直，则______.
13.已知，，则的最小值为______.
14.设是数列的前项和，且，，则______.
15.如图，在菱形中，，，、分别为线段、上的点，，，点在线段上，且满足，则______；若点为线段上一动点，则的取值范围为______.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，.
（I）求的值：
（I）求的值；
（III）求的值.
17.（本小题满分15分）如图.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分15分）已知等比数列的公比，前3项和是7.等差数列满足，.
（I）求数列，的通项公式：
（II）求（i）；
（ii）
19.（本小题满分15分）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上动点到右焦点最小距离为1.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）点，是椭圆上的两点，是坐标原点，，求面积的最大值.
20.（本小题满分16分）已知函数（其中为参数）.
（1）求函数的单调区间；
（II）若对以都有成立，求实数的取值集合；
（III）证明：其中，为自然对数的底数）.
天津市和平区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（9×5分=45分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A D B C D A B B C
二、填空题（6×5分=30分）
10、 11、或 12、2
13、4 14、 15、，
三、解答题（共75分）
16、（14分）解：（I）中，由，得，
由，得，
又由，解得，.
由，可得.
由，得.
（II），
17、（15分）（I）证明：连接，与交于，在中，
∵，分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（II）解：连接，设是的中点，
∵是正方形，为正三角形，∴.
又∵面面，交线为，
∴平面.
过作，与交于.以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则
，
令.则，得.
设直线与平面所成角为，
∴
即直线与平面所成角的正弦值.
（III）解：由（2）可知，设平面的法向量为，则
，令.则，，.
设面与面夹角为，
∴
∴面与面夹角的余弦值为.
18、（15分）解：（I）∵.且等比数列的公比，
∴，解得，
∴数列的通项公式为，
∴解得，，则，又，
∴等差数列的公差，.
（II）（i）设数列前项和为，
∵，
∴，
∴，
（ii）设数列的前项和为，
两式做差得：
∴即.
19、（15分）解：（I）依题意
解得
∴椭圆的标准方程为
（II）（i）当斜率不存在时，即直线轴，设.则，
∴
（ii）当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，
则，
，，
∴
即.
设原点到直线的距离为，则
∴
（当，即时不等式取等号，验证满足题意）
∴，
又∵，∴的最大值为.
20、（16分）解：
（I），.
令，有，
∴当，恒成立，在上单调递增：
当，时，，单调递减，
时，，单调递增.
（II）由题意得，由（I）得
（i）当，在上单调递增，无最小值：
（ii）当，时，单调递减，时，单调递增.
令，
∴
令，有，∴
∴在单调递增，单调递减，时，取得极大值
∴
即，又∵∴，
∴唯一解为，
∴实数的取值集合为.
（III）证明：要证明
两边取对数，只需证明，
∵，，，
即证，
令，则只需证
（i）由（I）知当时，在上单调递增，
∴.即，
∴
（ii）令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴
综上可得得证，即原不等式成立.