高中数学人教新课标A版必修2 2.2 直线、平面平行的判定及其性质(word含答案解析)

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图所示，已知正方体 的棱长为 ，点 在 上，且 ，记图中阴影平面为平面 ，且 ．若 ，则 的长为
A. B. C. D.
2. 如图所示，设 ，，， 依次是空间四边形 的边 ，，， 上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是
A. 当 时，四边形 是平行四边形
B. 当 时，四边形 是梯形
C. 当 时，四边形 一定不是平行四边形
D. 当 时，四边形 是梯形
3. 已知 ，， 为两两垂直的三条异面直线，过 作平面 与直线 垂直，则直线 与平面 的关系是
A. B. 或
C. 或 与 不平行 D.
4. 已知长方体 ，，，则 与 的位置关系是
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
5. 在正方体 中， 为棱 上的动点， 为底面 的中心，， 分别是 ， 的中点，下列平面中与 扫过的平面平行的是
A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面
6. 平面 截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面 必定和这个三棱锥的
A. 一个侧面平行 B. 底面平行
C. 仅一条棱平行 D. 某两条相对的棱都平行
7. 在正方体 中，， 分别是侧面 ，侧面 的中心，， 分别是线段 ， 的中点，则直线 与直线 的位置关系是
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
8. 如图所示，在空间四边形 中，， 分别为 ， 上的点，且 ，又 ， 分别为 ， 的中点，则
A. ，且四边形 是矩形
B. ，且四边形 是梯形
C. ，且四边形 是菱形
D. ，且四边形 是平行四边形
9. 如图，在下列四个正方体中，， 为正方体的两个顶点，，， 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是
A. B.
C. D.
10. 如图所示的三棱柱 中，过 的平面与平面 交于 ，则 与 的位置关系是
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如图，在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，，平面 分别与 ，，， 交于 ，，，，且 ， 分别是 ， 的中点，如果 ，那么四边形 的面积为 ．
12. 三棱锥 中， 为 的重心， 在棱 上，且 ，则 与平面 的关系为 ．
13. 如图所示，在长方体 中，，．一平面截该长方体，所得截面为 ，其中 ， 分别为 ， 的中点，，则 ．
14. 已知 ，，， 为空间四边形 的边 ，，， 上的点，若 ，，则四边形 的形状为 ．
15. 已知点 是正三角形 所在平面外一点，点 ，， 分别是 ，， 的中点，则平面 与平面 的位置关系是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 设 ， 是异面直线，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 ，，求证：．
17. 如图，在三棱柱 中，点 ， 分别是棱 ， 上的点，点 是线段 上 动点，，若 ，试判断点 在何位置．
18. 在正方体 中，如图．
（1）求证：；
（2）试找出体对角线 与平面 和平面 的交点 ，，并证明 ．
答案
第一部分
1. A 【解析】因为 ，，，
所以 ．
又 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ．
2. D 【解析】由 ，得 ，且 ，
同理得 ，且 ，
当 时，，．
当 时，，但 ，
故A，B，C均正确，只有D错误．
3. A 【解析】因为 ，且 与 异面，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ．
4. A
5. C
【解析】分别取 ， 的中点 和 ， 扫过的平面即为平面 ，如图所示，
可得 ，根据线面平行的判定定理，可得 ，同理可得 ，
再根据面面平行的判定定理，可得平面 ．
6. C 【解析】当平面 平行于某一侧面时，截面为三角形，故A，B错误．如图，
当平面 时，截面是四边形 ，又 ，平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，同理当 时，，
因为截面是梯形，
所以四边形 中仅有一组对边平行，故 仅与一条棱平行．
7. C 【解析】如图，连接 ，，，
则 ， 分别为 ， 的中点，
由三角形的中位线定理，知 ，，
所以 ．
8. B 【解析】由 ，知 ，，
所以 ．
又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，，
所以 且 ，
所以四边形 是梯形．
9. A 【解析】对于选项B，由于 ，结合线面平行的判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于 ，结合线面平行的判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于 ，结合线面平行的判定定理可知D不满足题意；选项A满足题意．
10. B
【解析】在三棱柱 中，．
因为 ，，
所以 ．
因为过 的平面与平面 交于 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
11.
12. 平行
【解析】如图，延长 交 于 ，连接 ，
则由 为 的重心知 ，
又 ，所以 ，
又 ，，
所以 ．
13.
【解析】设 ，则 ，
由面面平行的性质可知 ，，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
即 ，故 ，
由 ，可得 ，
即 ，解得 ．
14. 梯形
【解析】如图，
在 中，
因为 ，
所以 且 ，
在 中，
因为 ，
所以 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为梯形．
15. 平行
【解析】由 ，， 分别是 ，， 的中点，知 是 的中位线，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
同理，，
又因为 ，
所以 ．
第三部分
16. 略．
17. 若 ，过 ，， 作平面 交 于 ，连接 ，，如图．
因为 ，
，，
所以 ．
又 ，，
，所以 ，
所以 是平行四边形，
所以 ， .
而 ，，
所以 ，，
故 是 的中位线．
所以 是 的中点时，．
18. （1） 因为在正方体 中，
，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
同理，．
又因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，与 交于点 ．
又因为 ，
所以点 也在平面 内，
所以点 就是 与平面 的交点．
连接 ，交 于点 ，
连接 ，与 交于点 ，
则点 就是 与平面 的交点．
下面证明 ．
因为 ，
，
，
所以 ，
在 中，
是 的中点，
所以 是 的中点，即 ．
同理可证 ，
所以 是 的中点，
即 ，
所以 ．
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