高中数学人教新课标A版必修2 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质(word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标A版必修2 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质(word含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-08 10:04:14 | ||
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文档简介
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是
A. B. C. D.
2. 如图，下列 个正方体中，点 ，，，， 分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这 个正方体中，满足 的个数为
A. B. C. D.
3. 如图所示， 为圆 的直径， 为圆周上不与点 ， 重合的点， 所在的平面，连接 ，，，，则图中直角三角形的个数是
A. B. C. D.
4. 在正方体 中， 为棱 的中点，则
A. B. C. D.
5. 在直三棱柱 中，，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
6. 如图，在四棱锥 中，已知 ，且底面 为矩形，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
7. 如图，在正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列直线中与直线 相交的是
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
8. 已知长方体 ，在平面 上任取一点 ，作 于 ，则
A. B.
C. D. 以上都有可能
9. 如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 ， 的任一点，则下列关系中不正确的是
A. B.
C. D.
10. 如图，在三棱锥 中，，，，，则下列结论中不一定成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 思考辨析 判断正误．
如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直．
12. 已知 ， 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① ；
② ；
③ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
13. 思考辨析 判断正误
若 ，任取直线 ，则必有 ．
14. 若 在平面 内， 是平面 的斜线，，，，则点 到 的距离为 ．
15. 如图所示，在四棱锥 中，，且底面各边都相等， 是 上一动点，当点 满足 时，．（只要填写一个你认为正确的条件即可）
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 如图，边长为 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ，．求证：．
17. 如图，四棱柱 的 ，四边形 为菱形，， 分别为 ， 的中点．
（1）证明：，，， 四点共面；
（2）若 ，，求点 到平面 的距离．
18. 在如图所示的空间几何体中，，，，， 都是等边三角形．
（1）证明：．
（2）已知 ，求四棱锥 的高．
答案
第一部分
1. C 【解析】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；
如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；
如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；
根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，
所以正确的命题个数为 ．故选：C．
2. B 【解析】对于图 ，如图，连接 ．
因为 ，，，，
所以 ，从而 ．同理可得 ．
因为 ，，所以 .
对于图 ，因为 ，，，，所以 .
对于图 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直．
对于图 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直．
故满足 的个数为 ．
3. D
4. C 【解析】法一：连 ，
由题意得 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
法二：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 ，
则 ，，，，，，，
，，，，，
因为 ，，，，
所以 ．
5. B
【解析】取 的中点 ，连接 ，，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ，解得 ．
6. C 【解析】由面面垂直的判定定理知，，，，A，B，D正确．故选C．
7. D 【解析】根据异面直线的概念可看出直线 ，， 都和直线 为异面直线； 和 在同一平面内，且这两直线不平行．
所以直线 和直线 相交，即选项D正确．
8. A 【解析】由于 ，，且 ，，
所以 ．
9. C
10. B
【解析】因为 ，，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
又 ，，，
所以 ，
又 ，，
所以 ，．
又 ，
所以 （线段垂直平分线的性质）．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以
所以 ，
即 ．
综上知，A，C，D正确．
第二部分
11.
12. 如果 ，，则
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（）如果 ，，则 ，正确；
（）如果 ，，则 ，不正确，有可能 在平面 内；
（）如果 ，，则 ，不正确，有可能 与 斜交、 ．
13.
14.
15. （或 等）（不唯一）
【解析】如图，连接 ，
因为四边形 的各边都相等，
所以四边形 为菱形，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
所以当 （或 等）时，有 ，而 ，
所以 ．
第三部分
16. 因为 ，，，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为四边形 是正方形，
所以 ，
又 ，，
所以 ．
17. （1） 取 中点为 ，连接 ，，，，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
由已知可得四边形 为平行四边形，
故 ．
因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ．
所以 ，，， 四点共面．
（2） 连接 交 于 ，
则 ，又 ，，
所以 ．
由 知 ， 两点到平面 的距离相等．
在菱形 中，，
所以 为正三角形，
由 知 ，
所以 到平面 的距离为 ．
18. （1） 由题意知，， 都是等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，，
则 ，，
又因为 ，，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
又因为 ，， 都是等边三角形，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
（2） 分别取 ， 为 ， 的中点，连接 ，，，
因为 ，，
所以 ，，
由（）可知 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故 为四棱锥 的高，
其中 ，，，
在 中，，
可得 ，
所以四棱锥 的高为 ．
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一、选择题（共10小题；共50分）
1. 关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是
A. B. C. D.
2. 如图，下列 个正方体中，点 ，，，， 分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这 个正方体中，满足 的个数为
A. B. C. D.
3. 如图所示， 为圆 的直径， 为圆周上不与点 ， 重合的点， 所在的平面，连接 ，，，，则图中直角三角形的个数是
A. B. C. D.
4. 在正方体 中， 为棱 的中点，则
A. B. C. D.
5. 在直三棱柱 中，，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
6. 如图，在四棱锥 中，已知 ，且底面 为矩形，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
7. 如图，在正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列直线中与直线 相交的是
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
8. 已知长方体 ，在平面 上任取一点 ，作 于 ，则
A. B.
C. D. 以上都有可能
9. 如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 ， 的任一点，则下列关系中不正确的是
A. B.
C. D.
10. 如图，在三棱锥 中，，，，，则下列结论中不一定成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 思考辨析 判断正误．
如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直．
12. 已知 ， 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① ；
② ；
③ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
13. 思考辨析 判断正误
若 ，任取直线 ，则必有 ．
14. 若 在平面 内， 是平面 的斜线，，，，则点 到 的距离为 ．
15. 如图所示，在四棱锥 中，，且底面各边都相等， 是 上一动点，当点 满足 时，．（只要填写一个你认为正确的条件即可）
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 如图，边长为 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ，．求证：．
17. 如图，四棱柱 的 ，四边形 为菱形，， 分别为 ， 的中点．
（1）证明：，，， 四点共面；
（2）若 ，，求点 到平面 的距离．
18. 在如图所示的空间几何体中，，，，， 都是等边三角形．
（1）证明：．
（2）已知 ，求四棱锥 的高．
答案
第一部分
1. C 【解析】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；
如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；
如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；
根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，
所以正确的命题个数为 ．故选：C．
2. B 【解析】对于图 ，如图，连接 ．
因为 ，，，，
所以 ，从而 ．同理可得 ．
因为 ，，所以 .
对于图 ，因为 ，，，，所以 .
对于图 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直．
对于图 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直．
故满足 的个数为 ．
3. D
4. C 【解析】法一：连 ，
由题意得 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
法二：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 ，
则 ，，，，，，，
，，，，，
因为 ，，，，
所以 ．
5. B
【解析】取 的中点 ，连接 ，，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ，解得 ．
6. C 【解析】由面面垂直的判定定理知，，，，A，B，D正确．故选C．
7. D 【解析】根据异面直线的概念可看出直线 ，， 都和直线 为异面直线； 和 在同一平面内，且这两直线不平行．
所以直线 和直线 相交，即选项D正确．
8. A 【解析】由于 ，，且 ，，
所以 ．
9. C
10. B
【解析】因为 ，，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
又 ，，，
所以 ，
又 ，，
所以 ，．
又 ，
所以 （线段垂直平分线的性质）．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以
所以 ，
即 ．
综上知，A，C，D正确．
第二部分
11.
12. 如果 ，，则
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（）如果 ，，则 ，正确；
（）如果 ，，则 ，不正确，有可能 在平面 内；
（）如果 ，，则 ，不正确，有可能 与 斜交、 ．
13.
14.
15. （或 等）（不唯一）
【解析】如图，连接 ，
因为四边形 的各边都相等，
所以四边形 为菱形，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
所以当 （或 等）时，有 ，而 ，
所以 ．
第三部分
16. 因为 ，，，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为四边形 是正方形，
所以 ，
又 ，，
所以 ．
17. （1） 取 中点为 ，连接 ，，，，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
由已知可得四边形 为平行四边形，
故 ．
因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ．
所以 ，，， 四点共面．
（2） 连接 交 于 ，
则 ，又 ，，
所以 ．
由 知 ， 两点到平面 的距离相等．
在菱形 中，，
所以 为正三角形，
由 知 ，
所以 到平面 的距离为 ．
18. （1） 由题意知，， 都是等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，，
则 ，，
又因为 ，，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
又因为 ，， 都是等边三角形，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
（2） 分别取 ， 为 ， 的中点，连接 ，，，
因为 ，，
所以 ，，
由（）可知 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故 为四棱锥 的高，
其中 ，，，
在 中，，
可得 ，
所以四棱锥 的高为 ．
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