高中数学人教新课标A版必修2 4.2 直线、圆的位置关系(word含答案解析)

4.2 直线、圆的位置关系
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知圆 ，圆 ，则这两个圆的公切线条数为
A. B. C. D.
2. 过三点 ，， 的圆交 轴于 ， 两点，则
A. B. C. D.
3. 已知 ， 分别为圆 ： 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为
A. B. C. D.
4. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 为等腰直角三角形，则实数 的取值为
A. 或 B. 或 C. 或 D.
5. 直线 与直线 是圆 的两条切线，则圆 的面积是
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，， 是直线 上的两点，且 ．若对于任意点 ，存在 ， 使 成立，则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 已知圆 ：，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为
A. B.
C. D.
8. 圆 与圆 的公共弦长为
A. B. C. D.
9. 已知直线 经过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，则直线 的方程是
A. B.
C. 或 D. 或
10. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 直线 和 将单位圆 分成长度相等的四段弧，则 ．
12. 在平面直角坐标系 中，已知圆 上有且只有四个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围是 ．
13. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，且这两点平分圆 的圆周，则圆 半径最小时圆 的方程为 ．
14. 已知点 是直线 上一动点，， 是圆 的两条切线，， 是切点，若四边形 的最小面积是 ，则 的值为 ．
15. 圆 与圆 的位置关系是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知两圆 和 ．
（1） 取何值时两圆外切
（2） 取何值时两圆内切
（3）求 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
17. 如图，一个湖的边界是圆心为 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ，湖上有桥 （ 是圆 的直径）．规划在公路 上选两个点 ，，并修建两段直线型道路 ，，规划要求：线段 ， 上的所有点到点 的距离均不小于圆 的半径．已知点 ， 到直线 的距离分别为 和 （， 为垂足），测得 ，，（单位：百米）．
（1）若道路 与桥 垂直，求道路 的长．
（2）在规划要求下， 和 中能否有一个点选在 处 并说明理由．
（3）在规划要求下，若道路 和 的长度均为 （单位：百米），求当 最小时，， 两点间的距离．
18. 已知圆 经过点 ，，．
（1）求圆 的方程；
（2）设点 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，．若 ，求点 的坐标．
答案
第一部分
1. D 【解析】根据题意，圆 ，即 ，
其圆心为 ，半径 ；
圆 ，
其圆心为 ，半径 ．
则有 ，
故两圆外离，有 条公切线．
2. C 【解析】方法一：
设线段 的中点为 ，则 ，
设线段 的中点为 ，则 ，过点 且垂直于 的直线方程为 ，
与过点 垂直于 的直线 联立可得交点为 ，
则 为该圆的圆心，半径为 ，
过 作 轴垂线交于 ，则 ，
由勾股定理可得 ．
．
方法二：
待定系数法（选一般方程形式求圆的参数）．
设过 ，， 三点的圆的方程为 ，代入 ，， 三点的坐标，
解得
所以圆的方程为 ．
令 ，得 ，
所以 ，．
．
方法三：
几何法（利用几何性质确定圆的参数）．
由已知 ，，
所以 ，所以 ，
即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，
所以外接圆的方程为 ，
令 ，得 ，．
3. B 【解析】如图，作圆 关于 轴对称的圆 ，连接 ，交 轴于点 （即点 ），连接 ，
圆 ：，则 的最小值为 ，故选B．
4. B 【解析】根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
若 为等腰直角三角形，则圆心 到直线 的距离 ．
又由直线 的方程为 ，则有 ，
解得 或 ．
故选B．
5. C
【解析】易知直线 与直线 平行，若两条直线是圆 的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径．直线 ，即 与直线 间的距离 ，则圆的半径 ，则圆 的面积 ．
6. C 【解析】设原点到 直线距离为 ，
若对任意 均存在 使以 为直径的圆过 ，则有 ，
所以 ，．
7. D
8. C 【解析】圆 与圆 的方程相减得 ．
因为圆心 到直线 的距离 ，，
则公共弦长为 ．
9. D 【解析】因为点 在圆上，
所以直线 有两条．
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ．
由圆的方程可知圆心为 ，半径 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线方程为 ．
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，满足弦长为 ．
综上，所求直线方程为 或 ．
10. B
【解析】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离小于等于 ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，
故 的最大值为 ．
第二部分
11.
【解析】依题意，圆心 到两直线 ， 的距离相等，且每段弧长等于圆周的 ，即 ，得 ，故 ．
12.
【解析】要使圆 上有且只看四个点到直线 的距离为 ，只需满足圆心到直线的距离小于 即可．
即 ，解得 ，
．
13.
【解析】两圆公共弦 所在直线方程为：，
又圆心 为弦 的中点，
代入上式可得 ，
所以 ，
于是有 ．
所以圆 半径 ，
所以当 时，，，此时圆 半径最小，
故所求圆 的方程为 ．
14.
【解析】示意图如图所示．
圆 的圆心为 ，半径是 ．
由圆的性质知 ，
又因为四边形 的最小面积是 ，
所以 的最小值为 （ 是切线长），
所以 ．
由圆心到直线的距离就是 的最小值，可得 ，
又因为 ，
所以 ．
15. 外切
【解析】圆 ，其圆心 ，半径 ，
圆 ，其圆心 ，半径 ，
所以 ，，即 ，
故两圆的位置关系为外切．
故答案为：外切．
第三部分
16. （1） 两圆的标准方程为 ，，
圆心分别为 ，，
半径分别为 和 ．
当两圆外切时，，解得 ．
（2） 当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距 ，故只有 ，解得 ．
（3） 当 时，，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为 ，即 ．
所以公共弦长为 ．
17. （1） 方法一：
过 作 ，垂足为 ．
由已知条件得，四边形 为矩形，，．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因此道路 的长为 （百米）．
方法二：
如图，过 作 ，垂足为 ．
以 为坐标原点，直线 为 轴，建立平面直角坐标系.
因为 ，，
所以 ，
直线 的方程为 ，
点 ， 的纵坐标分别为 ，．
因为 为圆 的直径，，
所以圆 的方程为 ．
从而 ，，
直线 的斜率为 ．
因为 ，
所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ．
所以 ，．
因此道路 的长为 （百米）．
（2） 方法一：
①若 在 处，由（）可得 在圆上，则线段 上的点（除 ，）到点 的距离均小于圆 的半径，所以 选在 处不满足规划要求．
②若 在 处，连接 ，
由（）知 ，
从而 ，
所以 为锐角，
所以线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径．
因此 选在 处也不满足规划要求．
综上， 和 均不能选在 处．
方法二：
①若 在 处，取线段 上一点 ，
则 ，
所以 选在 处不满足规划要求．
②若 在 处，连接 ，
由（）知 ，
又 ，
所以线段 ．
在线段 上取点 ，
因为 ，
所以线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径．
因此 选在 处也不满足规划要求．
综上， 和 均不能选在 处．
（3） 方法一：
先讨论点 的位置．
当 时，线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径，点 不符合规划要求；
当 时，对线段 上任意一点 ，，即线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径，点 符合规划要求．
设 为 上一点，且 ，
由（）知，，
此时 ；
当 时，在 中，．
由上可知，．
再讨论点 的位置．
由（）知，要使得 ，点 只有位于点 的右侧，才能符合规划要求．
当 时，．
此时，线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径．
综上，当 ，点 位于点 右侧，且 时， 最小，
此时 ， 两点间的距离 ．
因此， 最小时，， 两点间的距离为 （百米）．
方法二：
先讨论点 的位置．
当 时，线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径，点 不符合规划要求；
当 时，对线 上任意一点 ，，即线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径，点 符合规划要求．
设 为 上一点，且 ，
由（）知，，此时 ；
当 时，在 中，．
由上可知，．
再讨论点 的位置．
由（）知，要使得 ，点 只有位于点 的右侧，才能符合规划要求．
当 时，设 ，
由 ，
得 ，
所以 ．
此时，线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径．
综上，当 ， 时， 最小，此时 ， 两点间的距离 ．
因此， 最小时，， 两点间的距离为 （百米）．
18. （1） 设圆 的方程为 ，
则 解得
所以圆 的方程为 ．
（2） 如图，设点 ．
由（）知，圆心 ，半径 ，
由已知 ，，
在 中，有 ，则 ，
解得 或 ，
即有点 的坐标为 或 ．
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