高中数学人教新课标A版必修3 3.3 几何概型(word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标A版必修3 3.3 几何概型(word含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-08 11:06:20 | ||
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文档简介
3.3 几何概型
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为
A. B. C. D.
2. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少 ”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设 为圆 上一个定点，在圆周上随机取一点 ，连接 ，所得弦长 大于圆 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为
A. B. C. D.
3. 从正六边形的 个顶点中随机选择 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
A. B. C. D.
4. 在正方形 内随机生成 个点，其中在正方形 内切圆内的点共有 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率 的近似值为
A. B. C. D.
5. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 小时，假定它们在一昼夜的时间中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率
A. B. C. D.
6. 甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人 分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为
A. B. C. D.
7. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. B. C. D.
8. 如图在圆 中，， 是圆 互相垂直的两条直径，现分别以 ，，， 为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
9. 一只蚂蚁在边长为 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 的区域内的概率为
A. B. C. D.
10. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线 与直线 ，
所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 个在区间 上的均匀随机数 和 个在区间 上的均匀随机数 ，其数据如下表的前两行．
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为 ，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为 ，现从 ，，，， 中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为 ．
12. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．上图是来氏太极图，其大圆半径为 ，大圆内部的同心小圆半径为 ，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为 ．
13. 某同学从区间 随机抽取 个数 ，，，，，，，，构成 个数对 ，，，，该同学用随机模拟的方法估计 个数对中两数的平方和小于 （即落在以原点为圆心， 为半径的圆内）的个数，则满足上述条件的数对约有 个．
14. 设函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 ，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 及直线 ，， 所围成部分的面积 ，先生产两组（每组 个）区间 上均匀随机数 ，，， 和 ，，，，由此得到 个点 ，再数出其中满足 的点数 ，那么由随机模拟方法可得 的近似值为 ．
15. 图 中实线围成的部分是长方体（图 ）的平面展开图，其中四边形 是边长为 的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 用随机投点法，求 与 轴组成的封闭图形的面积．
17. 利用随机投点法求抛物线 与 轴组成的封闭图形的面积．
18. 利用随机投点法求 与 轴组成的封闭图形的面积．
答案
第一部分
1. B 【解析】设 “区间 随机取 个数”，对应集合为：，区间长度为 ，
“取到的数小于 ”，对应集合为：，区间长度为 ，
所以 ．
2. C 【解析】设“弦 的长超过圆内接正三角形边长”为事件 ，以点 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形 ，如图所示，则要满足题意点 只能落在劣弧 上，又圆内接正三角形 恰好将圆周 等分，故 ，故选：C．
3. D 【解析】从正六边形的 个顶点中随机选择 个顶点，方法有 种，
它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为 ，所以所求概率等于 ．
4. C 【解析】由题意知，本题可以按照几何概型来计算出圆周率，
设正方形的边长为 ，正方形的面积是 ，
圆的面积是 ，
所以 ，
所以 ．
5. A
【解析】设甲船到达泊位的时间为 ，乙船到达泊位的时间为 ，则 ，．
因为两船都要在泊位停靠 小时，所以两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待，则有 ．
由图可知，两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率为 ．
6. B 【解析】以 和 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能会面的充要条件是 ．
在平面上建立直角坐标系如图所示，
则 的所有可能结果是边长 的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，．
7. B
8. D 【解析】设圆 半径为 ，阴影部分为 个全等的弓形组成，
设每个小弓形的面积为 ，则 ，圆 的面积为 ，
在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ，则 ．
9. A 【解析】满足条件的正三角形 如下图所示：
其中正三角形 的面积 ，
满足到正三角形 的顶点 ，， 的距离至少有一个小于 的平面区域如图中阴影部分所示，
则 ，
则使取到的点到三个顶点 ，， 的距离都大于 的概率是：
．
10. A
【解析】用计算机分别产生在区间 上的均匀随机数 ，在区间 上的均匀随机数 ，形成有序数对 所在区域为直线 ，，， 所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积 ，作图：
随机产生的十个点，当 时，该点落在曲边三角形内部，共有 个，
设曲边三角形面积为 ，则 ，
所以 ．
故选：A．
第二部分
11.
12.
【解析】设大圆面积为 ，小圆面积 ，则 ，，
可得黑色区域的面积为 ，
所以落在黑色区域的概率为 ．
13.
【解析】由题意，两数的平方和小于 ，对应的区域的面积为 ，从区间 随机抽取 个数 ，，，，，，，，构成 个数对 ，，，，对应的区域的面积为 ，
所以 ，
所以 ．
14.
【解析】因为 的几何意义是函数 （其中 ）的图象与 轴、直线 和直线 所围成图形的面积，
所以根据几何概型易知 ．
15.
第三部分
16. 如图：
在平面直角坐标系中画出曲线 和以长为 、宽为 的矩形 ，
在矩形 中随机投 个点，
如果其中有 个点落在所求的封闭图形（阴影部分）内，且投点到长方形内任何部分是等可能的，
那么，，
又因为长方形的面积为 ，
所以阴影部分的面积 ．
17. 略．
18. 略．
第1页（共1 页）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为
A. B. C. D.
2. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少 ”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设 为圆 上一个定点，在圆周上随机取一点 ，连接 ，所得弦长 大于圆 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为
A. B. C. D.
3. 从正六边形的 个顶点中随机选择 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
A. B. C. D.
4. 在正方形 内随机生成 个点，其中在正方形 内切圆内的点共有 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率 的近似值为
A. B. C. D.
5. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 小时，假定它们在一昼夜的时间中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率
A. B. C. D.
6. 甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人 分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为
A. B. C. D.
7. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. B. C. D.
8. 如图在圆 中，， 是圆 互相垂直的两条直径，现分别以 ，，， 为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
9. 一只蚂蚁在边长为 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 的区域内的概率为
A. B. C. D.
10. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线 与直线 ，
所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 个在区间 上的均匀随机数 和 个在区间 上的均匀随机数 ，其数据如下表的前两行．
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为 ，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为 ，现从 ，，，， 中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为 ．
12. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．上图是来氏太极图，其大圆半径为 ，大圆内部的同心小圆半径为 ，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为 ．
13. 某同学从区间 随机抽取 个数 ，，，，，，，，构成 个数对 ，，，，该同学用随机模拟的方法估计 个数对中两数的平方和小于 （即落在以原点为圆心， 为半径的圆内）的个数，则满足上述条件的数对约有 个．
14. 设函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 ，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 及直线 ，， 所围成部分的面积 ，先生产两组（每组 个）区间 上均匀随机数 ，，， 和 ，，，，由此得到 个点 ，再数出其中满足 的点数 ，那么由随机模拟方法可得 的近似值为 ．
15. 图 中实线围成的部分是长方体（图 ）的平面展开图，其中四边形 是边长为 的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 用随机投点法，求 与 轴组成的封闭图形的面积．
17. 利用随机投点法求抛物线 与 轴组成的封闭图形的面积．
18. 利用随机投点法求 与 轴组成的封闭图形的面积．
答案
第一部分
1. B 【解析】设 “区间 随机取 个数”，对应集合为：，区间长度为 ，
“取到的数小于 ”，对应集合为：，区间长度为 ，
所以 ．
2. C 【解析】设“弦 的长超过圆内接正三角形边长”为事件 ，以点 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形 ，如图所示，则要满足题意点 只能落在劣弧 上，又圆内接正三角形 恰好将圆周 等分，故 ，故选：C．
3. D 【解析】从正六边形的 个顶点中随机选择 个顶点，方法有 种，
它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为 ，所以所求概率等于 ．
4. C 【解析】由题意知，本题可以按照几何概型来计算出圆周率，
设正方形的边长为 ，正方形的面积是 ，
圆的面积是 ，
所以 ，
所以 ．
5. A
【解析】设甲船到达泊位的时间为 ，乙船到达泊位的时间为 ，则 ，．
因为两船都要在泊位停靠 小时，所以两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待，则有 ．
由图可知，两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率为 ．
6. B 【解析】以 和 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能会面的充要条件是 ．
在平面上建立直角坐标系如图所示，
则 的所有可能结果是边长 的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，．
7. B
8. D 【解析】设圆 半径为 ，阴影部分为 个全等的弓形组成，
设每个小弓形的面积为 ，则 ，圆 的面积为 ，
在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ，则 ．
9. A 【解析】满足条件的正三角形 如下图所示：
其中正三角形 的面积 ，
满足到正三角形 的顶点 ，， 的距离至少有一个小于 的平面区域如图中阴影部分所示，
则 ，
则使取到的点到三个顶点 ，， 的距离都大于 的概率是：
．
10. A
【解析】用计算机分别产生在区间 上的均匀随机数 ，在区间 上的均匀随机数 ，形成有序数对 所在区域为直线 ，，， 所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积 ，作图：
随机产生的十个点，当 时，该点落在曲边三角形内部，共有 个，
设曲边三角形面积为 ，则 ，
所以 ．
故选：A．
第二部分
11.
12.
【解析】设大圆面积为 ，小圆面积 ，则 ，，
可得黑色区域的面积为 ，
所以落在黑色区域的概率为 ．
13.
【解析】由题意，两数的平方和小于 ，对应的区域的面积为 ，从区间 随机抽取 个数 ，，，，，，，，构成 个数对 ，，，，对应的区域的面积为 ，
所以 ，
所以 ．
14.
【解析】因为 的几何意义是函数 （其中 ）的图象与 轴、直线 和直线 所围成图形的面积，
所以根据几何概型易知 ．
15.
第三部分
16. 如图：
在平面直角坐标系中画出曲线 和以长为 、宽为 的矩形 ，
在矩形 中随机投 个点，
如果其中有 个点落在所求的封闭图形（阴影部分）内，且投点到长方形内任何部分是等可能的，
那么，，
又因为长方形的面积为 ，
所以阴影部分的面积 ．
17. 略．
18. 略．
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