江西省赣州市赣县区三高2021-2022学年高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省赣州市赣县区三高2021-2022学年高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-07 12:55:49 | ||
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文档简介
赣县区三高2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．椭圆，下列结论不正确的是（ ）
A．离心率 B．长轴长为 C．焦距为 D．短轴长为
3．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
6．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为12cm，圆柱部分高度为9cm，底面圆半径为π.己知该陀螺由密度为1.6克/cm3的合成材料做成，则此陀螺质量最接近（ ）（注：物体质量=密度×体积）
A．432克 B．477克 C．495克 D．524克
8．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
10．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则周长为_______.
14．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数 300 400 500 600 700
感染人数 3 3 6 6 7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
15．三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的表面积___________.
16．已知椭圆的右端点为A，O为坐标原点，若在椭圆上存在一点P使得OP⊥PA，则此椭圆离心率的取值范围是________.
三、解答题
17．已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．
判断命题p的否定的真假；
若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．
18．内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数和众数；
（2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率.
19．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DD1 BB1的中点.
（1）证明：直线CF//平面；
（2）若该正方体的棱长为4，试问：底面ABCD上是否存在一点P，使得PD1⊥平面A1EC1，若存在，求出线段DP的长度，若不存在，请说明理由.
20．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．
求证：为定值，并求出这个定值；
21．如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，, 是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，离心率，短轴长为2，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过且斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（3）过点做另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围．
赣县区三高2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题参考答案
1．A2．D3．C4．B5．D6．B7．C8．D9．C10．A
11．B【分析】
取的中点，取的中点为，连接，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上，由此求得长的范围.
【详解】如图所示，取的中点，取的中点为，连接，
由三角形的中位线的性质，可得，则，
又由平面，平面，可得平面，
连接，可得且，
则四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
由直线与平面无公共点，所以点在线段上，
当为的中点时，取得最小值，最小值为，
当与点或重合时，取得最大值，最大值为，
所以线段的长的范围是.故选：B.
12．C【分析】
利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.
【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
13．24 14． 15．
16．【分析】根据题意，求出点的轨迹，再与椭圆方程联立，转化为一元二次方程在区间内有一个根，结合图像即可得到，关系，进而得到离心率的取值范围.
【详解】由题意得，点P在以为直径的圆上，
因，，则以为直径的圆方程为：，
即，联立，得，
令，则，，
结合图像可知，要使OPPA，
只需方程在区间内有一个根，
根据二次函数根的分布，得，即，
因，故，即，又因，所以.故答案为：.
17．【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；
（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或
因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，
所以
18．（1）年龄在[30,40)的频率为，
故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为：
.众数为
（2）由分层抽样得被抽取的6人中，有4人年龄在[10,20)，分别记为，有2人年龄在[50,60] ,分别记为.
则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为，共15种，
其中事件“至少有1人的年龄在[ 50,60]”包含的基本事件为
，共9种，
故该事件发生的概率.
19．（1）如图，取的中点G，连接GD，GF，则，
则由正方体的性质可得，
∴，
所以四边形GFCD为平行四边形，
∴，又，
∴，又平面，平面，
∴CF//平面
（2）如图建立空间直角坐标系，假设在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，设，则，
∴，
由得，，
即，解得，即，
∴，，
故在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，线段DP的长度为.
20．（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP||AB|，
∴圆C的半径为|BC|，故C（1，），
∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y）2．
（2）由（1）可知A（0，），B（0，2），
设M（cosα，sinα），则
∴，故为定值．
21．【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，
则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
22．（1）因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，所以可设椭圆方程为
∵ 短轴长为2，∴ ，即，
又椭圆的离心率，∴ ，，∴ ，
∴ 椭圆的标准方程为；
（2）由(1)得，，又直线的斜率不为零，故可设的方程为，
由化简可得，
设，，又直线的方程为，所以，
则，，所以，
由直线的方程为，且，
∴ ，
∴ 线的方程为，∴ 故直线恒过定点；
（3）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，直线与椭圆的交点为，，
此时或，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由化简可得，
由已知方程有两个不同的解，∴ ，即，
设，，则，，
又 ，∴ ，
，设，
则，设，则，，
∴ ∴ ，∴ 的取值范围为，综上 的取值范围为.
数学试题
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．椭圆，下列结论不正确的是（ ）
A．离心率 B．长轴长为 C．焦距为 D．短轴长为
3．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
6．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为12cm，圆柱部分高度为9cm，底面圆半径为π.己知该陀螺由密度为1.6克/cm3的合成材料做成，则此陀螺质量最接近（ ）（注：物体质量=密度×体积）
A．432克 B．477克 C．495克 D．524克
8．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
10．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则周长为_______.
14．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数 300 400 500 600 700
感染人数 3 3 6 6 7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
15．三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的表面积___________.
16．已知椭圆的右端点为A，O为坐标原点，若在椭圆上存在一点P使得OP⊥PA，则此椭圆离心率的取值范围是________.
三、解答题
17．已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．
判断命题p的否定的真假；
若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．
18．内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数和众数；
（2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率.
19．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DD1 BB1的中点.
（1）证明：直线CF//平面；
（2）若该正方体的棱长为4，试问：底面ABCD上是否存在一点P，使得PD1⊥平面A1EC1，若存在，求出线段DP的长度，若不存在，请说明理由.
20．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．
求证：为定值，并求出这个定值；
21．如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，, 是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，离心率，短轴长为2，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过且斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（3）过点做另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围．
赣县区三高2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题参考答案
1．A2．D3．C4．B5．D6．B7．C8．D9．C10．A
11．B【分析】
取的中点，取的中点为，连接，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上，由此求得长的范围.
【详解】如图所示，取的中点，取的中点为，连接，
由三角形的中位线的性质，可得，则，
又由平面，平面，可得平面，
连接，可得且，
则四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
由直线与平面无公共点，所以点在线段上，
当为的中点时，取得最小值，最小值为，
当与点或重合时，取得最大值，最大值为，
所以线段的长的范围是.故选：B.
12．C【分析】
利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.
【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
13．24 14． 15．
16．【分析】根据题意，求出点的轨迹，再与椭圆方程联立，转化为一元二次方程在区间内有一个根，结合图像即可得到，关系，进而得到离心率的取值范围.
【详解】由题意得，点P在以为直径的圆上，
因，，则以为直径的圆方程为：，
即，联立，得，
令，则，，
结合图像可知，要使OPPA，
只需方程在区间内有一个根，
根据二次函数根的分布，得，即，
因，故，即，又因，所以.故答案为：.
17．【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；
（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或
因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，
所以
18．（1）年龄在[30,40)的频率为，
故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为：
.众数为
（2）由分层抽样得被抽取的6人中，有4人年龄在[10,20)，分别记为，有2人年龄在[50,60] ,分别记为.
则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为，共15种，
其中事件“至少有1人的年龄在[ 50,60]”包含的基本事件为
，共9种，
故该事件发生的概率.
19．（1）如图，取的中点G，连接GD，GF，则，
则由正方体的性质可得，
∴，
所以四边形GFCD为平行四边形，
∴，又，
∴，又平面，平面，
∴CF//平面
（2）如图建立空间直角坐标系，假设在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，设，则，
∴，
由得，，
即，解得，即，
∴，，
故在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，线段DP的长度为.
20．（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP||AB|，
∴圆C的半径为|BC|，故C（1，），
∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y）2．
（2）由（1）可知A（0，），B（0，2），
设M（cosα，sinα），则
∴，故为定值．
21．【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，
则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
22．（1）因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，所以可设椭圆方程为
∵ 短轴长为2，∴ ，即，
又椭圆的离心率，∴ ，，∴ ，
∴ 椭圆的标准方程为；
（2）由(1)得，，又直线的斜率不为零，故可设的方程为，
由化简可得，
设，，又直线的方程为，所以，
则，，所以，
由直线的方程为，且，
∴ ，
∴ 线的方程为，∴ 故直线恒过定点；
（3）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，直线与椭圆的交点为，，
此时或，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由化简可得，
由已知方程有两个不同的解，∴ ，即，
设，，则，，
又 ，∴ ，
，设，
则，设，则，，
∴ ∴ ，∴ 的取值范围为，综上 的取值范围为.
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