2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何综合训练（Word含答案解析）

空间向量与立体几何
1．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．空间三点，，，则（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值 D．平面的一个法向量是
4．给出下列命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.
③平面的法向量分别为，则.
④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.
其中真命题的序号是（ ）
A．②③ B．①④ C．③④ D．①②
5．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
8．正方体的棱上到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．在四棱锥中，平面，是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.
11．如图所示平行六面体中，，则___________.
12．如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．
13．已知空间三点，，.
（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求向量在向量上的投影向量；
（3）求点到直线的距离.
14．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
（1）求证：平面平面EFG；
（2）求平面与平面EFG间的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.
【详解】
由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；
假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，
所以,
因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；
故选:D.
2．D
【分析】
利用向量运算的三角形法则 平行四边形法则表示出即可．.
【详解】
解：因为平行六面体中，为与的交点
所以为的中点，
因为，，，
所以
故选：D
3．D
【分析】
由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，，
A： 显然，所以与不共线，故错误；
B：的单位向量为，即为或，故错误；
C：，故错误；
D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确
故选：D
4．B
【分析】
依据题意得到：①求数量积，得到，即；②求数量积，可得到，故或；③利用与的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到，解出，，进而可求解．
【详解】
①，所以，即，所以①正确．
②，所以，所以或，所以②错误．
③因为，且，所以与是相交的．所以③错误．
④因为，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，
所以．所以，即，
解得，，所以．所以④正确．
故选：B.
5．C
【分析】
根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条异面直线所成的角.
【详解】
∵两条异面直线的方向向量分别是，，，又两条异面所成的角为，则，
故选C.
6．B
【分析】
先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.
【详解】
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系,
是左侧面上的一个动点, 设，其中
，，
又，
设，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，且
又且在上单调递减，时取最大值 与的夹角的最大值为
故选：B
7．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】
解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
平面ABCD的一个法向量为，
所以．
又因为，所以，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．
故选：A
8．D
【分析】
建立空间直角坐标系，用坐标法计算线面夹角.
【详解】
正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为：，的中点，的四等分点（靠近），
假设与重合，的中点为，的四等分点（靠近）为，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，得，
设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为，
故选：D.
9．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出夹角，结合图形即可求出结果.
【详解】
因为平面，是矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
又，，，
所以,
因为平面，所以平面的一个法向量为，
而,
设平面的法向量为，
则，取，则平面的法向量，
，所以，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为，
故选：A.
10．ABC
【分析】
由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.
【详解】
由题意，向量，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B正确；
对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；
对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.
故选：ABC
11．，-1，-1，-0.5
【分析】
由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，进而化简，然后结合得到答案.
【详解】
由题意得，为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，
又∵，∴ ，
故答案为：.
12．
【分析】
在平行六面体中，由空间向量可得，对其两边平方，再根据空间向量的数量积公式，即可求得，由此即可求出结果.
【详解】
在平行六面体中，
所以
，
所以
13．证明见解析
【分析】
利用空间向量的数量积为0的方法证明两直线垂直.
【详解】
证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，，
所以
.
所以．
14．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用向量的夹角公式计算其夹角的余弦值即可；
（2）由题意求解向量的投影向量即可；
（3）首先求得的值，然后计算点面距离即可.
（1）
解：由空间三点，，，
可得，
则.
所以向量与夹角的余弦值为.
（2）
解：由，可得，
又由向量与夹角的余弦值为，可得，
又由，可得向量的单位向量为，
故向量在向量上的投影向量.
（3）
解：由，可得，
所以点到直线的距离.
15．
（1）证明见详解；
（2）﹒
【分析】
(1)要证面面平行，转化为证明两组线面平行，连接AC，证明EF∥AC∥，可证∥平面，同理可证EG∥平面；
(2)由(1)知两平面平行，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，两平面间的距离为在法向量上的投影﹒
（1）
∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC得，EF∥AC，
∵是平行四边形，
∴，
又平面平面，
∥平面，
同理，连接可得，可得EG∥平面，
与平面EFG，
∴平面∥平面EFG﹒
（2）
如图：
以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴，
设平面的法向量为，
则，取，
则平面与平面EFG间的距离为﹒
答案第1页，共2页
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