楚雄市天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷A
（考试时间：120分钟，满分：150分）
制卷： 保密时间：12月29日7时40分前
一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，两直线，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
8．已知，是两条不同的直线，，为两个不同平面，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
9．《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．5
12．已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知向量，满足，，，则与的夹角为__________.
14．在等差数列中，若，则_______.
15．已知四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，又，且，则球的体积为__________
16．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第分位数（分位数精确到0.1)；
（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
18．(本小题满分12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知的内角所对的边分别为____．
（1）求；
（2）若，的周长是，求的面积．
19．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为梯形，
平面平面且，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值.
20. (本小题满分12分）若动点是曲线上的任意一点，且满足到点的距离与它到直线的距离相等
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）曲线与过点的直线相交于两点，为原点.若和的斜率之和为，求直线的方程.
21. (本小题满分12分）已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
22. (本小题满分12分）已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．楚雄市天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学答案A
一、选择题（共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D A C B A D B C D A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．14．15．16．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）由题意可知：，，
解得，；
（2）由频率分布直方图得众数为，
平均数等于，
第分位数等于；
（3）根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
18．解：(1)选择条件①：在中，由已知得，即，而，则，
因，所以；
选择条件②：由已知得，即，解得或(舍去)，
中，，所以；
选择条件③：在中，由正弦定理及已知得，而，于是得，
，显然，解得，而，
所以；
（2）由(1)知选择任意一个条件都有，又a=2，，即，
在中，由余弦定理得，，解得，
所以的面积为.
19．解：（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．
为的中点，．
又，且．
四边形为平行四边形．．
又平面，平面，平面．
（2）解：取的中点，连接，由为正三角形，．
取的中点，连接，四边形为梯形，．．
平面平面,平面,平面平面
平面， 又平面
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设，则，， ， ，
故，．
设平面的一个法向量为，则
则可取．
设直线与平面所成的角为．
．
，．
故直线与平面所成的角的余弦值为．
20．（1）解：因为到点的距离与它到直线的距离相等，
所以由抛物线的定义得：点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
所以p=1，所以抛物线方程为：；
（2）由题意设直线方程为，
联立方程组，消去y得，
设，则，
因为和的斜率之和为，
所以，即，
即，所以，
解得，所以直线方程为：.
21．解：（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
22．解：（1）因为椭圆：的短轴长为，离心率为，
所以有且，而，解得，因此椭圆的标准方程为：；
（2）设，由题意可知，设椭圆左顶点的坐标为：，因为以为直径的圆过椭圆的左顶点，所以有，
即：
直线与椭圆的方程联立，得：
因此，
因此由可得：，化简得：
当时，直线方程为该直线恒过点这与已知矛盾，故舍去；
当时，直线方程为该直线恒过点，综上所述：直线过定点.
