楚雄市天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷B
（考试时间：120分钟，满分：150分）
制卷： 保密时间：12月31日7时40分前
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，全集为，则（ ）
A． B． C． D．
2.设i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C．— D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．21 B．42 C．63 D．126
5．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．直线过点，且在轴上的截距是在x轴上截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．C． D．
11．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．已知向量，，，且，则实数______________.
14．记等差数列的前项和为，已知，，则______________.
15．设为数列的前项和，满足，则______________.
16．已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为______________.
三、解答题（本题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
设等差数列的公差为，，为，的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知△的内角，所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求△的面积．
19．（本小题满分12分）
良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益．某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标．
（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的第50百分位数与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取4名，再从这4名同学中随机抽取2名，求这两名同学中恰有一名每天体育锻炼时间在的概率．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的经过点．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交于不同的两点，．
（1）求椭圆的标准方程；（2）当△的面积为时，求的值．楚雄市天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学答案B
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A C B B C A C D D B
13. 2 14. 12 15. 16.
详细解答：
1、【解】：根据题意，由，得，
故，因此，
因为，
所以
故选：A.
2、【解】：由题意，故，
在复平面内对应的点为，位于第四象限，
故选：D．
3、【解】：设公比为，由题意得，则，
，故．
故选：A
4、【解】：方法一（性质法）：即，得
.
故选：C.
方法二（整体代换）：由得
故选：C.
5、【解】：由椭圆可得焦点为，
则设双曲线方程为，可得，
则离心率，解得，则，
所以渐近线方程为.
故选：B.
6、【解】：因为正方体的体积为，可求得棱长为，所以体对角线长为，
因此其外接球直径为，半径为，所以其外接球的表面积为．
故选：B．
7、【解】：若直线过原点，可设直线的方程为，
则有，此时直线的方程为；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，即，
则有，可得，此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：C.
8、【解】：设等差数列的公差为，
因为,,所以，∴
∴
因此当时，取最小值，
故选：A.
9、【解】：将两边平方可得，则，.
故选：C
10、【解】：解法一（点差法）：设交点分别为，，
则，，
两式相减得到，即，解得.
故直线方程为：，即.
故选：D.
解法二（方程组法）：设交点分别为，，
直线斜率不存在时不符合题意，所以设直线的方程为：
消去得
∴
又是，的中点
∴，即
∴
解得
故直线方程为：，即.
故选：D.
11、【解】：因为，由抛物线的定义可得，
所以点的坐标为，
所以的面积为，
故选：D．
12、【解】：解法一：直线的方程为：
由得，所以
因为，所以
即，所以
化为
解得或（舍去）
所以椭圆的离心率为
故选：B.
解法二：设该椭圆的焦距为，如图所示：
设，轴，，
，，
由椭圆定义可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
13、【解】：因为，所以，即，得
故答案为：2
14、【解】：解法一（性质法）：因为是等差数列的前项，
由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，
所以，即，
解得：.
解法二（方程组法）：设等差数列的公差为，，，
即，解得
所以，
15、【解】：为数列的前项和，满足①
当时，解得.
当时，②
①－②得：，即，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.
所以，的通项公式为
16、【解】：解法一（待定系数法）：设圆C的方程为：，则圆心C，
由题意得，解得
∴圆C的方程为，化为标准方程为
解法二（几何法）：直线AB的斜率为，A、B中点坐标为（2,4）
∴，AB的垂直平分线方程为：，即
由得圆心
∴半径
∴圆C的方程为：
解法三（利用圆的几何性质）：设圆心，由可得，
解得，故圆的半径为，
故圆的方程为：，
故答案为：.
17、解：（1），为与的等比中项，
，.................................................................................................................(1分)
即，.................................................................................................(2分)
由，所以，.................................................................................................(4分)
∴数列的通项公式为.........................................................(5分)
（2）由（1）得，，...................................................................(6分)
∴
.......................(7分)
.....................................................................................(9分)
....................................................................................(10分)
18、解：由正弦定理及得：
...........................(1分)
，.....................................................(2分)
所以，.............................(3分)
即，........................................................................................(5分)
因为，所以........................................................................(6分)
（2）因为，所以，所以......................(7分)
因为，.....................................................(8分)
所以，所以，......................................(9分)
解得，.....................................................................................................(10分)
故的面积为.............................................(12分)
19、解：（1）∵前两组频率为0.08＋0.16＝0.24，
前三组的频率为0.24＋0.32＝0.56，.......................................(2分)
∴第50百分位数在第3组，设第50百分位数为m，则，
解得，...........................................................................................(4分)
平均数为；...(6分)
（2）根据题意可得，200名学生中每天体育锻炼时间在的有30名，每天体育锻炼时间在的有10名。..........................................................................................(7分)
抽取的4名同学中每天体育锻炼时间在的有3名，设为A1、A2、A3，在的有1名，设为B。........................................................ .........(8分)
从4名同学中抽取2人，所有的基本事件为：A1A2、A1A3、A1B、A2A3、A2B、A3B，共6个。恰有一名每天体育锻炼时间在的基本事件有：A1B、A2B、A3B，共3个。
.............................................................................................................................(11分)
∴所求概率为...................................................................................(12分)
20、【解】：因抛物线：过点，
则有，解得，....................................................................................(2分)
所以抛物线的标准方程是：，准线方程为：...............................(4分)
（2）解法一：设，设直线的方程为........(5分）
由消去整理得：......................(7分）
则...............................................................(8分)
因为点A，B在抛物线上
∴得...........................................................................(9分)
∴...................................................................(11分)
所以为定值....................................................................................................(12分)
解法二：设，设直线AB方程为，............................(5分）
由消去x并整理得：，................................................(6分)
则，，.....................................................................................(7分)
于是...........................(9分)
，.........................................................................................(11分)
所以为定值.....................................................................................................(12分)
21、（1）证明：因为平面，所以.......................................(1分)
又，所以...........................................................(2分)
∴........................................................(3分)
所以.....................................................................................................(4分)
在三角形PAD中因为为的中点，
所以.....................................................................................................(5分)
∴........................................................(6分)
（2）由题知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，..........................(7分)
.
设平面的法向量为，
则，即
令，得.....................................................................................(9分)
由（1）知，平面的一个法向量为，............................(10分)
设平面与平面夹角为，则
，...................................................(11分)
所以，
平面与平面夹角的正弦值.....................................................(12分)
.22、解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，...........(1分)
又由椭圆的离心率为，可得，所以，.......................................(2分)
则，.................................................................................................(3分)
所以椭圆的标准方程为.......................................................................(4分)
（2）解：解法一：设
有 消去整理得
∴，
因为，点到直线的距离为：
所以，
即
解得
解法二：设，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为，可得，解得.
