△△△Ｏ
△△△
Ｏ
6.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为 （ ）
△△△ 2021——2022 学年度第一学期
Ｏ 初四数学期末试卷 A．15° B．28°
考 号
考生注意： C．20° D．18°
Ｏ
1.考试时间 120 分钟. 7.某商品原价为 200元，连续两次平均降价的百分率为 a,连续两次降价后
2.全卷共三道大题，总分 120 分. 售价为 148元，下面所列方程正确的是 （ ）姓 名
A．200(1 + a)2 = 148 B．200(1 a)2 = 148
（ C．200(1 + 2a)
2 = 148 D．200(1 2a)2 = 148
三 总分
8.如图，将△ ABC绕着点 C按顺时针方向旋转 20°，B点落在 '位置，
题号 一 二
学 校 装 A点落在
'位置，若 AC ⊥ A'B'，则∠BAC的度数是 （ ）
21 22 23 24 25 26 27 28
A．50° B．60° C．70° D．80°
订
得分
△△△
线一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题 3 分，
△△△
共 30 分）
内 8题图 9题图
△△△订1.方程 2 5 = 0 的解是 （ ）
9.三角板 ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，AC = 2 3，三角板绕直角顶点 C
△△△不 A. 1 = 0， 2 = 5 B.x = 5 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A′落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，
则 B点转过的路径长为（ ）
△△△ C. 1 = 0， 2 = 5 D.x = 0 4 3
答 A．2π B． 3 C． D．3π
2.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） 3 2
△△△ 10.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)的图像如图，
题 则下列说法：
△△△）线 ①c = 0；②该抛物线的对称轴是直线 x = 1；
A． B． C． D． ③当 x = 1时，y = 2a；④am2 + bm+ a > 0 (m ≠ 1)
△△△ 其中正确的个数是（ ）
3．下列说法中正确的是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
△△△ A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
Ｏ 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
△△△ 11.已知 2是一元二次方程 2 3 + 2 = 0的一个解，则 k的值是 。
C．“概率为 0.0001的事件”是不可能事件
Ｏ 12.正八边形的每个内角是 。
△△△ D．任意掷一枚质地均匀的硬币 10次，正面向上的一定是 5次
13.已知点 P（-7,5）关于原点的对称点为 M（a,b）,则 a+b= 。
4.⊙O的半径为 6，线段 OP的长度为 8，则点 P与⊙O的位置关系是 （ ）
△△△Ｏ 14.如图，用圆心角为 120°，半径为 6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底
A．在⊙上 B．在⊙外 C．在⊙内 D．无法确定
y = 2(x 3)2 + 1 纸帽，则这个纸帽的高是 。5.二次函数 的顶点坐标为（ ）
△△△ＯA.(3,1) B.(3,-1) C.(-3,-1) D.(-3,1) y
△△△
14 题图 15 题图
初四数学试卷第 1页(共 8页) 初四数学试卷第 2页(共 8页) x
-------------------------------- --------------- ---------------- ----------------------------------
Ｏ△△△
△△△
Ｏ
15.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c的部分图象，由图象可知不等式 ax2 + （1）本次调查共抽取了多少名
bx + c < 0 △△△的解集是 。 学生？并补全条形统计图；
Ｏ
16.将二次函数 y = 6x2的图象先向右平移 2个单位长度，再向下平移 3个单 （2）在扇形统计图中，“理解” △△△
位长度，得到的函数图象的解析式是 。 所占扇形的圆心角是多少度？
Ｏ
17.一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随 （3）我区七年级大约 8000 名学 △△△
机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球 生，请估计“理解”和“了解”
△△△
标号的和等于 4的概率是 。 的共有学生多少名？
18.⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC = 100°，则∠A= 。 （△△△
19.如图，把 Rt △ ABC绕点 A逆时针旋转 40°，得到 Rt △ AB'C'，点 '恰好 装
△△△
落在边 AB上，连接 BB′，则∠BB'C'= 度。
订△△△
线△△△
19 题图 20 题图 △△△
内
20. 如图，把 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 1， 23.（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是 A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4）， 订△△△
C（1，﹣1）．2，……， 分别是正方形的中心，n个这样的正方形重叠部分的面积和为
（1）在图中画出△ABC向左平移 3个单位后的△A1B1C；
2
1 不
。 （2）在图中画出△ABC绕原点 O逆时针旋转 90°后的△A2B2C2；
△△△
三、解答题(共 60 分) （3）在（2）的条件下，OA扫过的面积是 。
答△△△
21.（6分）解方程
△△△
（1） 2 7 + 12 = 0； （2）(x 3)2 + 2 ( 3) = 0； 线题）△△△
△△△
Ｏ△△△
△△△
22.（7 分）数学爱好者申请了一项课题《中学学科核心素养理念下渗透数 Ｏ
学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进 △△△
行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘 Ｏ
制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： △△△
Ｏ△△△
△△△
初四数学试卷第 3页(共 8页) 初四数学试卷第 4页(共 8页)
-------------------------------- --------------- ---------------- ----------------------------------
△△△
Ｏ
△△△
Ｏ24.（7分）已知关于 x的方程 2 + 2 + 2 = 0． 26.（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心 O在 AB上，且∠B=2∠A，M
△△△
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a的取值范围； 是 OA上一点，过 M作 AB的垂线交 AC于点 N，交 BC的延长线于点 E，直线
△△△Ｏ
（2）当该方程的一个根为 1时，求 a的值及方程的另一根． CF交 EN于点 F，EF=FC．
△△△
Ｏ
（1）求证：CF是⊙O的切线．
△△△
（2）设⊙O的半径为 2，且 AC=CE，求 AM的长． N
△△△
（
△△△装
△△△订
△△△
线25.（6分）一个口袋中有 1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都
△△△ 1
订相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为 ．
△ 内
3
△△
（1）求口袋中白球的个数；
△△△不（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸
△△△出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
答
△△△
题线△
△△）
△
△△
△
△△Ｏ
△
△△
△ Ｏ
△△
△ Ｏ
△△
△
△△Ｏ
△
△△
初四数学试卷第 5页(共 8页) 初四数学试卷第 6页(共 8页)
△△
-------------------------------- --------------- ---------------- -----------------------------------
Ｏ△△△
△△△
Ｏ
27.（9分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生 28.（10分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)
△△△
产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个 三点，直线 l是抛物线的对称轴．
Ｏ
10 元．某商场试销发现：销售单价定为 15 元/个，每月销售量为 350 个； （1）求抛物线的函数关系式； △△△
每涨价 1元，每月少卖 10 个． （2）设点 P是直线 l上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点 P的坐
Ｏ△△△
（1）求出每月销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系，并写出 标；
自变量的取值范围； （3）在直线 l上是否存在点 M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出 △△△
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为 w（元），当销售单价定为 所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
（△△△
多少元时，每月可获得最大利润？ l 装
△△△
（3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元，商场根据
订
公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯 300 个，在这种情 △△△
况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
线△△△
△△△
订内
△△△
不△△△
答△△△
△△△
线题）△△△
△△△
Ｏ△△△
△△△
Ｏ
△△△
Ｏ
△△△
Ｏ△△△
△△△
初四数学试卷第 7页(共 8页) 初四数学试卷第 8页(共 8页)
-------------------------------- --------------- ---------------- ----------------------------------初四数学试卷答案
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.A 10.C
二、填空题
11.1 12.135° 13.2 14.4 2 15. x < 1或 x > 5
16. y = 6(x 2)2 3 17. 3 18. 50°或 130°
16
19. 20 20. 1
4
三、解答题
21.解方程
（1） 2 7 + 12 = 0 （2） (x 3)2 + 2 ( 3) = 0
（x 3）(x 4) = 0 (x 3)[(x 3) + 2x] = 0
x 3 = 0或 x 4 = 0 x 3 = 0或 3x 3 = 0
1 = 3 2 = 4 1 = 3 2 =1
22.
(1)20÷5%=400（名）
不太了解的学生：400-120-160-20=100（名）
2 120（ ） × 360° = 108°
400
（3 120）理解： × 100% = 30%
400
8000 ×（40% + 30%） = 5600（名）
答：理解和了解的学生共有 5600名。
23.
（1）（2）如图
2
3 90 ×（2 5）（ ） =5π
360
24.
（1）因为方程有两个不相等的实数根，
所以 = b2 4ac = 22 4 × 1 × (a 2) > 0，
所以 4 4a + 8 > 0 ， 所以 a < 3。
（2）把 x = 1带入方程得 1 + 2 + a 2 = 0， 解得 a = 1
所以原方程为 2 + 2 3 = 0，即(x + 3)(x 1) = 0
解得 1 = 3， 2 = 1
所以方程得另一个根为 3。
25.
（1）解设白球有 x个
1 = 1 所以 x = 2
1+ 3
所以口袋中的白球的个数是 2个。
（2 1）P(两次摸出的球都是白球) = 3
26.
（1）连接 OC
∵ 圆 O是△ABC的外接圆，圆心 O 在 AB上
∴ AB是圆 O直径 ∴ ∠ACB = 90°
∵ ∠B = 2∠A ∴ ∠A = 30°，∠B = 60°
∵ EM ⊥ AB ∴ ∠EMB = 90° ∴ ∠E = 30°
∵ EF = FC ∴ ∠ECF = ∠E = 30°
∵ ∠ECA = 90° ∴ ∠FCA = 60°
∵ OA = OC ∴ ∠OCA = ∠A = 30°
∴ ∠FCO = ∠FCA+ ∠ACO = 90° ∴ OC ⊥ CF
∴CF 是圆 O 的切线
（2）在 Rt△ABC中
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 4
∴ BC = 1AB = 2，AC = 42 22 = 2 3
2
∵ AC = CE ∴ CE = 2 3
∴ BE = BC + CE = 2 + 2 3
在 Rt△BEM中，∠BEM = 90°，∠E = 30°
∴ BM = 1BE = 1 + 3
2
∴ AM = AB BM = 4 1 3 = 3 3
27.
（1）由题意得 y = 350 10(x 15) = 10x + 500 (15 ≤ x ≤ 50)
（2）依题意得 w = (x 10)( 10x + 500) = 10(x 30)2 + 4000
∵ 10 < 0 ∴ 当 x = 30时，w有最大值为 4000
答：当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元。
（3）依题意得 10x + 500 ≤ 300
∴ x ≥ 20 ∵ x ≤ 25 ∴ 20 ≤ x ≤ 25
由（2）得 w = 10(x 30)2 + 4000
∵ 10 < 0 ∴ 当 x ≤ 30时，w随 x的增大而增大
2
∴ 当 x = 25时，w有最大值 10（25 30） + 4000 = 3750（元）
答：商场每月销售这种节能灯最多可获得 3750元的利润。
28.
（1）∵ 抛物线 y = ax2 + bx + c经过 A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）
a b + c = 0 = 1
∴ 9a + 3b + c = 0 解得 = 2
c = 3 = 3
∴ 抛物线的解析式为 y = x2 + 2x + 3
（2）连接 BC，交 l 于点 P
∵点 A、B关于直线 l 对称 ∴PA=PB
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线 BC的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)
B 3,0 C 0,3 3 + = 0 = 1将 （ ）、 （ ）代入上式得 = 3 解得 = 3
∴直线 BC的函数解析式为 y = x + 3
∴当 x = 1时，y = 2。即点 P的坐标（1,2）
（3） 1(1， 6) 2(1， 6) 3(1，1) 4(1，0)
