高三理科数学答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A D D A C D A B B C
二.填空题
4 14. 100 15.8 16.①③④
解答题
17．解（1）由正弦定理得：，
∵，∴，∵是的内角，∴.....5分
（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，
由余弦定理得：，
∴，得：，∴的周长为.......10分
18解：（1）由题意可得即
又因为，所以所以......5分.
（2）因为，所以
.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.......12分
19．解：(1)证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.
又AP 平面PAD，∴CD⊥AP.
∵∠APD＝90°，即PD⊥AP，CD∩PD＝D，∴AP⊥平面PCD.
∵AP 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.....5分
(2)取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，易得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，
以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形ABCD的边长为2，
可得A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，1)．
设平面APB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
而＝(1，0，－1)，＝(1，2，－1)，
则即则y1＝0，取x1＝1，得n1＝(1，0，1)为平面APB的一个法向量．
设平面BCP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
而＝(1，2，－1)，＝(－1，2，－1)，
则即则x2＝0，取y2＝1，得n2＝(0，1，2)为平面BCP的一个法向量．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝＝，
由图易知二面角A PB C为钝角，
故二面角A PB C的余弦值为－.......12分
20 解：（1）列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生 5 15 20
女生 10 10 20
合计 15 25 40
，
所以，有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关．......5分
（2）记事件为“从样本中随机抽取男生、女生各1人，其中恰有1人喜欢冰雪健身操”，
则................8分
（3）由题意
的分布列为
．......12分
21.解：(1)由题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则c＝，设椭圆的另一个焦点为F2，则F2(，0)，
由椭圆的定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4，a＝2，则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.. ......4分
(2)证明：由已知得D(0，1)，由，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由AD⊥BD得·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－.
①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．
②当m＝－时，显然有Δ＞0，直线l经过定点(0,－).......12分
22．解：（1）因为
所以当时， ， 在上单调递减；
当时， ， 在上单调递增；
所以当时， 取得极小值.无极大值-----------------------4分
（2） ，
令，得．
设，则 ．
所以当时， ， 在上单调递增；
当时， ， 在上单调递减；
所以的最大值为，又，，可知：
当时，函数有2个零点. -----------------------8分
原命题等价于恒成立
则等价于在上单调递减，……10分
所以 恒成立，所以．
即的取值范围是． -----------------------12分则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
友好学校第七十二届期末联考
A．1 B． C. D．1
高三理科数学 4 12 4 12
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 4 页。考试用时 120 分钟。 4 6 107.已知实数 a ，b ， c ，则 a，b，c的大小关系是（ ）
ln 2 ln3 ln5
注意事项：
A.a b c B. c b a C. c a b D.b a c
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。
2.选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。 8.将函数 y sin(2x ) cos(2x ) 的图像沿着 x轴向左平移 个单位长度后，得到一个
4
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、
偶函数，则 的一个可能取值为（ ）
试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 A. B. C. D.8 8 4 4
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，下列各题，只有一项符合题意要求。 9.D是△ABC所在平面内一点，且满足 (BC CA ) (BD AD ) 0 ，则△ABC是
1.若集合 A {x | y log2 (x 2)}， B {x | x2 x 6 0}，则 A B ( ) ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
A. ( 2,2] B.[ 2,2] C. (2,3) D. (2,3]
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
a b
2.已知单位向量 与 的夹角为 ，若 xa b 与 a垂直，则实数 x的值为（ ）
3 2 2 210．已知等差数列 an ，其前n项和为 Sn，a1 0，方程 x 1 x 1 0的
1 1 3 3
A. B. C. D. 两根是 a2012 、 a2013 ，则满足 Sn 0的 n的最大正整数为（ ）
2 2 2 2
2
3.若抛物线 y 2px x2 y2的焦点与双曲线 2的右焦点重合，则 p的值为( ) A．4023 B．4024 C．4025 D．4026
x2 y2
A． 4 B. 2 C． 2 2 D． 2 11.双曲线C ： 2 2 1( a 0，b 0 )的左、右焦点分别为 F1、 F2 ，过 F2 的直线与双a b
1
4.在 (3x )n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64:1，则展开式常数项为( ) 曲线C 的右支交于M 、N 两点，若 |MN | |MF1 |，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）x
A. (1，3) B. (1，5) C. (1，3) D. ( 5，3)
A. 160 B． 320 C. 480 D．540
5. x函数 y 2 sin 2x的图象可能是( ) 12. 已知定义在 R上的偶函数 f (x)，其导函数为 f ' (x)，若 xf ' (x) 2 f (x) 0，且 f ( 2) 1，
f (x) 1
则不等式 2 的解集是（ ）x 4
A. ( 2,2) B. ( , 2) (2, ) C. ( 2,0) (0,2) D. ( ,0) (0,2)
二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。
6.如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底
y x
圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥
13.已知变量 x、 y 满足约束条件 x y 1，则 Z 3x 2y的最大值______．
的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，
y 1
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14.直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB AC ， AB 2 3 20. （本题满分 12 分）为推动校园冰雪运动，某学校决定学生全员参与冰雪健身操运动．为，
了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了 20 名男生和 20 名女生的测
AC 2 6 ， AA1 8，则球 O 的表面积为______．
评成绩（满分为 100 分）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于 80 分
15.2012 年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了 2019 年中秋节
的学生为喜欢．
前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 ~ N (1000,
2 ) ,若 p( 1200) a，
喜欢 不喜欢 合计
p(800 1200) 1 2 b，则 的最小值为______．
a b 男生
女生
16.下列命题中：① p : x R, x 2 x 1 0；② q : x0 R,sin x0 cos x0 2； 合计
③ r : x ( ,0),e x x 1 s : ABC sin A sin B A B （1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有 85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪；④ “在 中，若 ，则 ”的逆命题，
健身操与性别有关？
正确的是______．(填写所有正确的序号)．
三、 解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （2）从样本中随机抽取男生、女生各 1 人，求其中恰有 1 人喜欢冰雪健身操的概率；
17.（本题满分 10 分）在 ABC中，角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，满足 （3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取 1 人，求其
a c sin B b sinC 3b cos A . 中喜欢冰雪健身操的人数 X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
（1）求角 A； P K 2 k0 0.150 0.100 0.050 0.010 0.001
2
2 ABC 2 3 a 4 ABC . K 2
n ad bc
（ ）若 的面积为 ， ，求 的周长 a b c d a c b d k0 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
18.（本题满分 12 分）等差数列 an 中，公差 d 0，S7 35，且a2，a5，a11成等比数列．
1
（1）求数列 a 的通项公式； 21．（本题满分 12 分）已知椭圆 C的中心在原点，一个焦点为 F1( 3,0)，且过点 P( 3, ) .n 2
1 （1）求椭圆 C 的方程；
（2）若Tn为数列 的前 n项和，且存在n N *，使得Tn an 1 0成立，求实数
anan 1 （2）设椭圆 C 与 y轴的正半轴交于点 D，直线 l： y kx m与 C 交于 A，B 两点( l不经过 D
的取值范围． 点)，且 AD⊥BD，证明：直线 l经过定点，并求出该定点的坐标．
m
22．（本题满分 12 分）设函数 f x lnx ， m R ．
x
19.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD是正
（1）当m 1时，求函数 f x 的极值；
方形，且 PA＝PD，∠APD＝90°.
x
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PCD； （2）若函数 g x f x 有两个零点，求实数m取值范围；3
（2）求二面角 A PB C的余弦值．
f b f a
（3）若对任意的b a 0， 1恒成立，求实数m的取值范围．
b a
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