友好学校第七十二届期末联考 A．1
B． C. D．1
4 12 4 12
高三文科数学 7.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 4 页。考试用时 120 分钟。 “今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”
注意事项： 意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。 各分几两几钱？（注：1 两等于 10 钱）（ ）
2.选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。 A．乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 B．乙分 8 两，丙分 8两，丁分 8 两
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、 C．乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D．乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两
试题卷上答题无效。
8.将函数 y sin(2x )的图像沿着 x轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数，则 的
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 8
一个可能取值为（ ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，下列各题，只有一项符合题意要求。
A. B. C. D.
8 8 4 4
1.若集合 A {x | y log 22 (x 2)}， B {x | x x 6 0}，则 A B ( )
9.D是△ABC所在平面内一点，且满足 (BC CA ) (BD AD ) 0 ，则△ABC是
A. ( 2, 2] B.[ 2, 2] C. (2,3) D. (2,3]
( )
2.下列函数中，值域为 R，且在区间 (0,+ )上单调递增的是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
A. y x2 2x y 2x 1B. C. y x3 1 D. y (x 1) | x | C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2 2 2
3.已知 a log 2 ,b log 0.7， c 0.70.9则 a,b,c的大小关系是( ) 10．已知等差数列 an ，其前 n项和为 Sn，a1 0，方程 x 1 x 1 0 的0.9 0.9
A. a b c B.b a c C.a c b D. c a b 两根是 a2012、 a2013，则满足 Sn 0的n的最大正整数为（ ）
A．4023 B．4024 C．4025 D．4026
4.已知单位向量 a与b 的夹角为 ，若 xa b 与a垂直，则实数 x的值为（ ）
3 x2 y2
11.双曲线C：
a2
2 1(a 0，b 0 )的左、右焦点分别为 Fb 1
、F2，过 F2的直线与双曲
1 1
A. B. 3 3C. D.
2 2 2 2 线C的右支交于M 、 N 两点，若 |MN | |MF1 |，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
y2 2px x2 y25.若抛物线 的焦点与双曲线 2的右焦点重合，则 p的值为( ) A. (1，3) B. (1，5) C. (1，3) D. ( 5，3)
A． 4 B. 2 C． 2 2 D． 2 12.已知定义在 R 上的偶函数 f (x)，其导函数为 f ' (x)，若 xf ' (x) 2 f (x) 0，且 f ( 2) 1，
6.如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底
f (x) 1
圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥 则不等式 2 的解集是（ ）x 4
的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，
则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( ) A. ( 2,2) B. ( , 2) (2, )
C. ( 2,0) (0,2) D. ( ,0) (0,2)
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二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。 19.（本题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，
y x PD 平面 ABCD，PD AB 2 ,E、F分别为 AB、PC的中点．
13.已知变量 x、 y 满足约束条件 x y 1，则 Z 3x 2y的最大值______． （1）证明：直线 EF / /平面 PAD；
（2）求点 B到平面 EFC的距离．
y 1
14.直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB AC ， AB 2 3，
AC 2 6 ， AA1 8，则球 O 的表面积为______．
1 1 1
15.若正实数 a,b满足 ab 1，则 的最小值为______．
a b a b 20.（本题满分 12分）已知函数 f (x) 2sin x cos x 3 cos 2x(x R)．
16.下列命题中：① p : x R, x 2 x 1 0；② q : x0 R,sin x0 cos x0 2；
（1）若 f ( ) 1 5 2 且 , ，求 cos 2 的值；
r : x ( ,0),ex③ x 1；④ s :“在 ABC中，若 sin A sin B，则 A B ”的逆命题， 2 12 3
正确的是______．(填写所有正确的序号)．
（2）记函数 f (x) 在 ,
上的最大值为b，且函数 f (x)在 a ,b (a b)上单调递增， 4 2
三、 解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
求实数 a的最小值．
17.（本题满分 10 分）在 ABC中，角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，满足
a c sin B bsinC 3bcos A .
（1）求角 A； 121．（本题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F1( 3,0)，且过点 P( 3, ) .2
（2）若 ABC的面积为 2 3， a 4，求 ABC的周长. （1）求椭圆 C 的方程；
（2）设椭圆 C 与 y轴的正半轴交于点 D，直线 l： y kx m与 C 交于 A，B 两点( l不经过 D
点)，且 AD⊥BD，证明：直线 l经过定点，并求出该定点的坐标．
18.（本题满分 12分）等差数列 an 中，公差 d 0，S7 35，且a2，a5，a11成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式； m
22.（本题满分 12分）设函数 f x lnx ， m R ．
1 x
（2）若Tn为数列 的前 n项和，且存在n N *，使得Tn aa a n 1
0成立，求实数
（1）当 时，求函数 的极值；n n 1 m 1 f x
的取值范围. （2）若函数 g x f x x 有两个零点，求实数m取值范围；
3
f b f a
（3）若对任意的b a 0， 1恒成立，求实数m的取值范围．
b a
高三文科数学试题 第 3页（共 4页） 高三文科数学试题 第 4页（共 4页）高三文科数学答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C B A A C D A B B C
二.填空题
13.4 14. 100 15. 16.①③④
三.解答题
17．解（1）由正弦定理得：，
∵，∴，∵是的内角，∴.....5分
（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，
由余弦定理得：，
∴，得：，∴的周长为.......10分
18解：（1）由题意可得即
又因为，所以所以......5分.
（2）因为，所以
.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.......12分
19．解：（1）证明：取的中点，连，
∵为的中点，∴∥，
又∥，
∴为平行四边形，∴∥，
，∴∥．......6分
（2）∵，为的中点，∴点．
又，∴，
∵，，，.
设到平面的距离为，则，解得.......12分
20.解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
∵f(α)＝，∴sin＝.
∵α∈，∴2α－∈，
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos＝－×－×＝－.......6分
(2)当x∈时，2x－∈，f(x)∈[1，2]，
∴b＝2.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
又∵函数f(x)在[aπ，2π](a＜2)上单调递增，
∴[aπ，2π] ，
∴－＋2π≤aπ＜2π，∴≤a＜2，
∴实数a的最小值是.......12分
21.解：(1)由题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则c＝，设椭圆的另一个焦点为F2，则F2(，0)，
由椭圆的定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4，a＝2，则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.. ......4分
(2)证明：由已知得D(0，1)，由，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由AD⊥BD得·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－.
①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．
②当m＝－时，显然有Δ＞0，直线l经过定点(0,－).......12分
22．解：（1）因为
所以当时， ， 在上单调递减；
当时， ， 在上单调递增；
所以当时， 取得极小值.无极大值-----------------------4分
（2） ，
令，得．
设，则 ．
所以当时， ， 在上单调递增；
当时， ， 在上单调递减；
所以的最大值为，又，，可知：
当时，函数有2个零点. -----------------------8分
原命题等价于恒成立
则等价于在上单调递减，……10分
所以 恒成立，所以．
即的取值范围是． -----------------------12分
