山东省滕州市洪绪镇洪绪中学2021--2022学年北师大版九年级数学上册第六章反比例函数强化训练（Word版，附答案解析）

洪绪中学九年级数学反比例函数强化训练
一．选择题
1．如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（　　）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
2．如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
3．如图点A在双曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（　）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
4．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）
A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．当x＞1时，y2＞y1
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（　　）
A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675） C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
9．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　 　．
12．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　 　．
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　 　．
16．如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　 　．
17．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝　 　．
18．如图在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 　 　．
三．解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　 　．
20．已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．
（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．
22．如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 　 　．
23．小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y＝﹣ … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ …
y＝ … 2 3 m ﹣3 ﹣1 0 n …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　 　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　 　平移 　 　个单位而得到．
③函数图象关于点 　 　中心对称．（填点的坐标）
反比例函数强化训练答案提示
一．选择题
1．如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（　　）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
解：过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12，
故选：A．
2．如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，∴＝，
∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
3．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（　　）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
∵AB∥x轴，点A双在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，
∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，
∵S△ABC＝S△AOB＝6，
∴1﹣k＝6，
∴k＝﹣10．
故选：C．
4．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）
A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．当x＞1时，y2＞y1
解：∵点P（1，t）在双曲线y2＝上，∴t＝＝2，正确；∴A选项不符合题意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上，∴2＝k+1．∴k＝1，正确；∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y＝x+1
令x＝0，则y＝1，∴B（0，1）．∴OB＝1．
令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴OA＝1．∴OA＝OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；∴B选项不符合题意；
由图像可知，当x＞1时，y1＞y2．∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
解：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，
方法二：过点A作AE⊥BC于点E，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，∴AE＝4﹣2＝2，
∵菱形ABCD的面积为8，∴BC AE＝8，∴BC＝4，∴AB＝BC＝4，
∴BE＝＝＝2，
设A点坐标为（a，4），则B点的坐标为（a﹣2，2），
∵反比例函数y＝经过A、B两点，
∴，解得，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，∴E的纵坐标为，∴，
∵E为AC的中点，∴点C（3a，），∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，∴S△ACF＝2，∴，解得：k＝3．
故选：D．
7．如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（　　）
A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
解：作BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BOA＝45°，∴BD＝OD，
设B（a，a），∴，∴a＝3或a＝﹣3（舍去），∴BD＝OD＝3，B（3，3），
∵BC＝2AC．∴AB＝3AC，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴BD∥CE，.∴△ABD∽△ACE
∵＝3，∴，∴CE＝1，
∵图象经过点C，∴，∴x＝9，C（9，1）
设BC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
∴x+4，
当x＝﹣2019时，y＝677，
当x＝﹣2020时，y＝677，
当x＝2021时，y＝﹣669，
当x＝2022时，y＝﹣670，
故选：D．
8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
解：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），∴C（﹣，2m），∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，∴m﹣（﹣）＝，整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（舍去），经检验，m＝是方程的解，∴A（，2），
故选：A．
9．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x，），∴AC＝x＝OC，BC＝，
∵AC+BC＝4，∴x+＝4，∴x＝2±，
当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；
当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）
A． B．2 C． D．3
解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，
∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（，b），∴C（1，﹣2b），
∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，
∴B的横坐标为＝＝2，故选：B．
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　0　．
解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象和性质可知，
其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
12．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝　﹣20　．
解：∵S△AOB＝AB OC＝6，S△BOC＝BC OC，AB＝3BC，∴S△BOC＝2，
∴S△AOC＝2+6＝8，
又∵|k1|＝8，|k2|＝2，k1＜0，k2＜0，
∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，
故答案为：﹣20．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　5或22.5　．
解：作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠BAN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴AM＝BN，DM＝AN，
∵顶点D的坐标（，2）．
∴OM＝，DM＝2，
同理：△ADM≌△DCE，
∴AM＝DE，CE＝DM，
∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，
设AM＝BN＝DE＝m，
∴ON＝+m+2＝4.5+m，
∴B（4.5+m，m），C（4.5，2+m），
当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、D时，则k＝×2＝5；
当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、C时，则k＝（4.5+m） m＝4.5 （2+m），
解得m＝3（负数舍去），
∴k＝4.5×（2+3）＝22.5，
故答案为5或22.5．
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　　．
解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝2+2+k，∴k＝，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　﹣24　．
解：如图，MN交x轴于点G，连接OB，
由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称，且OA＝AE，
由对称性可知，AG＝GE，OA＝AE＝EC，∴AG＝AC，
∵S△AEF＝1，∴S△AFG＝S△AEF＝，
∵MN∥BC∥OD，∴△AFG∽△ABC，
∴＝（）2＝，∴S△ABC＝×16＝8，
又∵OA＝AC，∴S△OAB＝S△ABC＝4，∴S△OBC＝8+4＝12，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝12＝|k|，
∵k＜0，∴k＝﹣24，
故答案为：﹣24．
16．如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　6　．
解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，∴，，∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝ （﹣4x） （﹣）＝6
故答案为：6．
17．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝　40　．
解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FN＝MN＝3，
∴AN＝MB＝8﹣3＝5，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，8），M（x+3，5），
又∵点F、M都在反比例函数的图象上，
∴8x＝（x+3）×5，
解得，x＝5，
∴F（5，8），
∴k＝5×8＝40．
故答案为：40．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 　48．　．
解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴＝＝，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，
∴＝＝3，
解得m＝6，n＝8，
∴A′（6，8），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，
∴k＝6×8＝48，
故答案为48．
三．解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．
解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
20．已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．
（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y＝中得，4n＝4，∴n＝1，
∴点A的坐标为（4，1），
∵AB＝OA，O（0，0），∴点B的坐标为（8，2），
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为2，
令y＝2，则＝2，∴x＝2，∴点C的坐标为（2，2）；
（2）设A（m，），∵AB＝OA，∴点B的坐标为（2m，），
∵BC∥x轴，∴BC⊥y轴，
又AD⊥BC，∴AD∥y轴，∴点D的坐标为（），
∵BC∥x轴，且点C在函数图象上，∴C（，），
∵S△OBC＝ BC ＝（2m﹣） ＝＝6，S△ADB＝BD AD＝ m ＝2，
∴四边形OCDA的面积为：S△OBC﹣S△ADB＝6﹣2＝4．
21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．
解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
t△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，AH＝AC×cos30°＝，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，∴A（1，），
∵双曲线y＝经过点A，∴＝，即k＝；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，），C（2，0），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，
∴，解得或，
∵D在第四象限，∴D（3，﹣），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC AH+BC （﹣yD）＝＝4．
22．如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 　+　．
解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，∴D（1，4），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），
当x＝2时，y＝2，∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，∴，
∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），∴点D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝，∴点P的坐标为（0，）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），∴BE＝2，BD＝1，
∴DE＝＝＝，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），∴BD′＝3，
∴D′E＝＝，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E＝+，
故答案为：+．
23．小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　5　，n＝　　；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y＝﹣ … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ …
y＝ … 2 3 m ﹣3 ﹣1 0 n …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．
③函数图象关于点 　（0，1）　中心对称．（填点的坐标）
解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣+1＝，∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：
（3）根据图象可得：①在y轴左边，y随x增大而增大，故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，故答案为：（0，1）．