八年级数学《13.1 平方根》课件

课件49张PPT。13.1 平方根 某教学模具厂要制面积如下表所示的正方形模具，你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗？13 461.41.55　　这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢？新课导入　　1．理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系；
　　2．学会平方根、算术平方根的表示方法；
　　3．会用计算器求一个数的算术平方根；
　　4．理解无限不循环的含义，能用夹值法估计一个数的算术平方根的大小范围；
　　5．理解被开方数越大，它的算术平方根也越大，被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律．教学目标知识与能力　　1．发展数感，经历认识平方根的概念，经历总结发现正数、负数、零的平方根的情况；
　　2．会求一个数的平方根；
　　3．理解开平方与平方互为逆运算；
　　4．通过学习算数平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；　　5．通过探究 　的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想．过程与方法　　1．通过学习算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维；
　　2．通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力，抽象概括能力；
　　3．培养优算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想；情感态度与价值观　　4．体验“无限不循环”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数；
　　5．通过用计算器求值及近似值计算，提高运算能力和动手能力；
　　6．通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣．　　1．平方根的概念、算术平方根的定义；　　2．探索被开方数扩大（缩小）与算术平方根扩大（缩小）的规律；
　　3．用计算器求一个正数的平方根的程序 ；
　　4．体验“无限不循环”的含义．教学重难点重点　　1．平方根的概念和平方根的表示方法；
　　2．利用平方根定义解决问题；
　　3．用夹值法估计一个（无理）数的大小；
　　4．准确用计算器求解一个正数的平方根．难点知识要点规定：0的算术平方根是0．　　一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数． 是算术平方根的运算符号．a的算术平方根也是非负数，即 ． 其中：表示a的算术平方根．被开方数a是非负数，即a≥0．　　下列各式中哪些有意义？哪些无意义？答：有意义的是：无意义的是：想一想例1　求下列各数的算术平方根：
（1）400 （2） （3）0.0025　　解：（1）因为202=400，所以400的算术平方根为20，即 　　 =20．　　（3）因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根为0.05，即 =0.01．　　（2）因为 = ，所以 的算术平方根
是 ，即 = ．例2　填空
（1）121 的算术平方根是______；
0.25 的算术平方根是_______；
0 的算术平方根是_______．

（2）100 的算术平方根是______；
25 的算术平方根是_______；
0.81 的算术平方根是_______．00.9510110.5比较结果：1 < 4 < 9 < 16 < 25＜36，被开方数大的数算术平方根也大．解：　　例3 求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来．
　　1，4，9，16，25．36结论　　解：设这个正方形原来的边长为a，则其原来的面积为a2．又设变大后的正方形的边长为b，则
b2=4a2=(2a)2　　所以，正方形的面积变为原来的4倍，则其边长变为原来的2倍． 例4 一个正方形的面积变为原来的4倍，其边长变为原来的多少倍？正方形的面积扩大n倍，那么其边长对应扩大 倍．结论　　某气垫厂接到订单，要求把两块面积为1的正方形材料，缝成一块正方形的气垫面，你有没有办法进行设计，帮助他们解决这个问题？缝成的这个大正方形的边长是多少呢？想一想　　如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形气垫面．小正方形的对角线长度即为大正方形的边长．　　设大正方形的边长为x，则
x2=2.
　　由算术平方根的意义可知
x=　　．　有多大呢？　　接着往下计算，可以发现 =1.414 213 56…，是一个无限不循环小数．想一想∵12=1，22=4，
∴1＜ ＜2；
∵1.42=1.96，1.52=2.25，
∴1.4＜ ＜1.5；
∵1.412=1.999 396，1.4152=2.002 225，
∴1.414＜ ＜1.415
……　　第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却被抛进了大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理．无限不循环小数的发现读一读　　毕达哥拉斯认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述．　　但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海．　　无限不循环小数的计算：借助于计算器．　　无限不循环小数：即无理数，是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．
无限不循环小数是不能转化为分数的．　　常见无限不循环小数：圆周率π，自然对数的底数e， ……知识要点　　例5 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）：解：　　例6 用计算器计算下列各数的值，有什么规律？　　规律：被开方数扩大（缩小）100倍，它的算术平方根扩大（缩小）10倍．解：结论　　能用一块面积为100cm2的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2吗？想一想 解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm．根据边长与面积的关系得　　答：不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．因此长方形的长应为 　　 cm．　　因为15＞12.25，所以 ＞3.5．
　　所以 ＞10.5，所以长方形纸片的长大于原正方形的长（10cm ）． 　　宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度v（米/秒）要大于第一宇宙速度v1（米/秒），小于第二宇宙速度v2（米/秒），其中v12=gR，v22=2gR，g≈9.8米/秒2，R≈　6400000米（地球半径），求v的范围．练一练所以7900 　　根据乘方运算，可知42=16cm2．想一想16cm2　　我们知道，(±4)2=16，但－4不符合题意．
　　所以，方桌面的边长应是4cm． 反过来，要做一张面积是16cm2的桌面，它的边长是多少cm？知识要点　　一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根．　　求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根．平方与开平方互为逆运算．平方根的表示法：　　一个非负数a的平方根用符号表示为：±　 ，
读作：“正、负根号a”，其中a叫做被开方数．即：如果x2=a，则x=± ． 注意　　（1） 表示非负数a的正的平方根，即算数平方根，
　　－ 表示非负数a的负的平方根；
　　（2）± 表示非负数a的平方根，
与－ 互为相反数；
　　（3） 在± 中，a≥0．（4）( )2＝a (a≥0)，　　（5）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
　　零的平方根是零．
　　负数没有平方根．区别：
1．定义不同； 2．个数不同；
3．表示法不同； 4．取值范围不同．平方根与算术平方根的联系与区别：联系：
1．算术平方根是平方根的一种；
2．只有非负数才有算术平方根和平方根；
3．0的算术平方根和平方根都是0．例7 求下列各数的平方根：
（1）25；（2）81；（3）0.16；（4）121．　　解：（1）因为(±5)2=25，所以25的平方根是±5；
　　（2）因为(±9)2=81，所以81的平方根是±9；
　　（3）因为(±0.4)2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4；
　　（4）因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11．　　已知一个自然数的算术平方根是n，则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是多少？　　解：因为这个数的算术平方根是n，所以这个自然数为n2，那么与它相邻的下一个自然数为n2+1．
所以下一个自然数的平方根是 ．想一想　　已知a＋6与2a－9是m的平方根，试求m的值．　　解：因为a＋6与2a－9是m的平方根，则a＋6与2a－9相等或互为相反数．
当 a＋6=2a－9时，得a=15．
所以m=152=225．
当a＋6＋2a－9=0时，得a=1，所以m=1．
所以，m的值为225或1．练一练　　一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a的算术平方根记作： ． 1．算数平方根0的算术平方根还是0．课堂小结2．平方根　　一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根．性质：　　一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．0的平方根还是0．负数没有平方根．平方根的表示法：　　　　　．3．无理数　　即无限不循环小数．无理数不能写成分数的形式．1．(－8)2的平方根是____，算术平方根是____；±882． 的平方根是_____，算术平方 根是____；±333．若x2=49，则 x=____，若 =9，则x=_____；±74．若(x-2)2=36，则x=__________；±98或－4随堂练习5．对于正数a， 等于___；a7．下列各数中，不一定有平方根的是（ ）
A．2x2+5 B．|x|+2
C． D．|a|-26．对于任意数a， 等于______________
___________________________________
____________． 若a是正数，则等于a；若a是负数，则等于－a；若a是0，则等于0DD8．已知 有意义，则下列说法正确的是( )
A．一定是正数 B．x一定是负数
C．x一定是非负数 D．x一定是非正数 9．已知(2x)2=36，y是(-5)2的正的平方根，求代数 式5x-3y的值．10．一个数的两个平方根分别是 3a+2 与
5a-10，求这个数．　　解：因为一个数的平方根互为相反数，
所以，
（3a+2）＋(5a-10)=0
所以 a=1．习题答案5．（1）29.44；（2）0.68；（3）－0.57；
（4）±49.01．
6．6和7．
7．（1）±16.4；（2）16.9；（3）在16.4与
16.5之间；（4）16.1．
8．（1）±5；（2）±9；（3）± ．
9．5s．
10．2倍，3倍， 倍．
11．（1）2，3，5，6，7，0；a(a≥0)，
－a（a＜0）． （2）4，9，25，36，49，0；a．
12．1不断开平方的结果仍为1；对于小于1的
正数，每次开平方的结果逐渐增大，并
趋近于1；对于大于1的数，每次开平方
的结果逐渐减小，并趋近于1．