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3.4.1圆周角和圆心角的关系教学设计
课题 3.4.1圆周角和圆心角的关系 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1. 理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算. 2. 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
重点 理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.
难点 圆周角和圆心角关系定理的证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 学生喜闻乐见的足球射门的场景。将实际图形抽象成几何图形，在球门前以球门AC为弦划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。球员射中球门的难易与他所处的位置对球门AC的张角有关。 当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？ 学生自由讨论回答 从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．
讲授新课 圆周角定义 问题1：观察∠AEC、∠ABC、∠ADC的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？ 问题2：回顾圆心角的特点？比较这三个角与圆心角有什么区别？ 问题3：你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗？ 这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交． 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 练一练： 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 如图，∠AOB = 80°. （1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流. 通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，如图： 圆心在圆周角的一边上, 圆心在圆周角的内部, 圆心在圆周角的外部. 探究：画出圆周角所对弧上的圆心角，观察、猜想两种角之间的大小关系，改变圆心角∠AOC的度数，你得到的结论还成立吗？ （1）第一种情况： 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系． ∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A， ，即 （2）第二种情况 如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？ 当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 教师提示：能否转化为第一种情况？ 过点B作直径BD，由第一种情况可得 （3）第三种情况： 如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？ 当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 教师提示：能否转化为第一种情况？ 过点B作直径BD，由第一种情况可得 教师总结概括：先特殊，再一般，转化思想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。 出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 给学生一分钟时间体会反思圆周角定理的证明过程 探究：同弧所对圆周角的度数有什么关系 当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成的圆周角∠ABC， ∠ADC，∠AEC这三个角的大小有什么关系 ． 圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？ 它们之间有什么关系？ 如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？ 教师总结概括圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 学生回想以前的知识，进行讨论，解答 学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充. 教师投影展示学生所发现的几种位置关系，并让其他小组补充. 教师引导学生画图发现. 学生画图、观察、测量、猜想 教师用几何画板演示它们之间的一半关系 学生小组讨论交流圆周角定理推理过程 学生代表讲解推理过程 学生画图、测量、比较、发现、猜想.再试一试，并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流. 为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以帮助学生对本质属性与非本质属性进行比较． 通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透归纳思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系。 如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难。通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。 充分给予学生探索与交流的时间和空间，体会将一般情况转化成特殊情况的思维过程，理解添加辅助线的必要性，达到突破难点的目的。 通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达．
课堂练习 1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110° 2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ） A.84° B.60° C.36° D.24° 已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． 4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠B＝30 °，AC＝2，则⊙O的半径是 . 5.如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系 为什么 (2)求证：. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §3.4.1 圆周角与圆心角的关系 圆周角定义 圆周角定理 三、圆周角推论
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3.4.1圆周角与圆心角的关系
北师大版 九年级下册
情景导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
新知讲解
B
C
D
E
A
图中的三个张角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
试着给这样的角下个定义.
新知讲解
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
练一练
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
做一做
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流.
B
O
A
议一议：在图中改变∠AOB 的度数，你能得到的结论还成立吗？
A
C
B
O
（1）∠ACB、∠ADB和∠AEB这几个
圆周角相等.
D
E
（2）这些圆周角= 圆心角= ∠AOB
做一做
猜想
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
即∠ACB= ∠AOB
●O
A
B
C
D
新知讲解
圆心O在∠ABC的内部
圆心O在∠ABC的一边上
圆心O在∠ABC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
A
B
C
●O
● O
A
B
C
A
C
●
O
B
动手探究
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
●O
新知讲解
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
● O
A
B
C
D
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,
∠CBD = ∠COD,
∴ ∠ABC = ∠AOC.
新知讲解
提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
D
A
B
C
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
∴∠ABC = ∠AOC.
●
O
归纳
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
B
C
D
E
A
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
同弧或等弧所对的圆周角相等.
O
∠ABC=
∠ADC=
∠AEC=
方法点拨
【规律方法】
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
典例精析
例、如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？
A
C
B
O
解：∠ACB = 2∠BAC ，
理由：∵∠ACB=
∠BAC=∠BOC
而∠AOB = 2∠BOC，
∴ ∠ACB = 2∠BAC .
练一练
如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，求∠BAF的度数.
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°.
课堂练习
A
O
C
B
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130° C.120° D.110°
2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）
A.84° B.60° C.36° D.24°
A
D
课堂练习
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,
则∠AOB= ．
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠B＝30 °，AC＝2，
则⊙O的半径是 .
B
A
C
O
166°
2
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证：.
A
B
C
D
E
课堂练习
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
(2)∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:(1)BD=CD.理由是:连接AD,
作业布置
1.课本第81页习题3.4第1、2、4题
2.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ADB= .
D
A
O
C
B
课堂小结
(1)概念（圆周角）；
(2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
(3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧相等；
圆周角和圆心角的关系
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