《几何证明初步》单元测试题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列语句中，不是命题的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互补
B．同角的余角相等
C．作线段的垂直平分线
D．相等的角是对顶角
2. 下列语句中属于定义的是（ ）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离
D．两点之间，线段最短
3. 下面关于定理的说法不正确的是（ ）
A．定理是真命题
B．定理的正确性不需要证明
C．定理可以作为推理论证的依据
D．定理的正确性需证明
4. 如图，在等边△中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，，，结论：①；②； ③；④△≌△．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到∥的是（ ）
A．∠1=∠2 B. ∠2=∠4
C. ∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°
7.如图，∥，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图,在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.CA平分∠BCD
C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
9. 如图，直线AB、CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO=30°，则∠DOT等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
10. 图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列选项正确的是（ ）
A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6
C．∠1+∠4+∠6=180° D．∠2+∠3+∠5=360°
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 写一个与直角三角形有关的定理 .
12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度．
13. 如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=______度．
14. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，那么这个三角形的最大内角 是______度.
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC= .
16. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= .
17. 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题： .
18. 如图，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E= 度．
三、解答题（共46分）
19.（6分） 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
20.（8分）如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE，给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB.将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，便构成一个命题．
（1）用序号写出一个真命题（书写形式：如果×××，那么×××），并给出证明．
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）.
21.（8分）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
22.（8分）如图，是∠内的一点，，，垂足分别为，．
求证：（1）；
（2）点在∠的平分线上．
23.（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
24.（8分）如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
第5章 几何证明初步检测题参考答案
1. C 解析：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选C．
2. C 解析：A是直角的性质，不是定义；B是作图语言，不是定义；C是定义；D是公理，不是定义．故选C．
3. B 解析：根据定理的定义，可知A，C，D是正确的，B是错误的．故选B．
4.C 解析：在等边△中，有，.
又因为，所以△≌△，所以．
所以．故选C．
5. C 解析：因为，，，所以 △≌△（AAS），
所以，所以 ，即故③正确.
又因为，，所以△≌△（ASA）.所以 .故①正确.
由△≌△，知，又因为，，
所以△≌△，故④正确.
由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：①③④.
6. D 解析：A.∠1与∠2是邻角，不是被第三条直线所截得的同位角或内错角，不能推出平行；
B.∠2+∠3与∠4是被截得的同位角，而∠2与∠4不是，不能推出平行；
C.∠3与∠4，不是被截得的同位角，不能推出平行；
D.∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是被截得的同旁内角，能推出平行．故选D．
7. C 解析：因为∥，所以.
因为，所以.
如图，过点作∠∠交于点，则△≌△，
所以，
因为，
所以．
8. C 解析：∵ AC垂直平分BD，∴ AB=AD,BC=DC,∠BCE=∠DCE,
∴ CA平分∠BCD.AB与BD不一定相等，故选C.
9.C 解析：∵ CE∥AB，∴ ∠DOB=∠ECO=30°.
∵ OT⊥AB，∴ ∠BOT=90°，
∴ ∠DOT=∠BOT-∠DOB=90°-30°=60°．故选C．
10.C 解析：根据四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，
可知∠1+∠4+∠6=180°．故选C．
11.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.
12.270 解析：如图，根据题意可知∠5=90°，∴ ∠3+∠4=90°，
∴ ∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.
13.40 解析：∵ △ABC沿着DE翻折，
∴ ∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，
∴ ∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，
而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，
∴ 80°+2（180°-∠B）=360°，
∴ ∠B=40°．
14.80 解析：这个三角形的最大内角为180°×=80°．
15. 108° 解析：如图，连接OB，OC.
∵ ∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴
又∵ AB=AC，
∴ .
∵ DO是AB的垂直平分线，
∴ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO=27°，
∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°.
∵ DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴ 点O是△ABC的外心，
∴ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠OBC=36°，
∵ 将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴ OE=CE，
∴ ∠COE=∠OCB=36°.
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．
16. 50° 解析：如图，由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，∵ ∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴ ∠2=∠4=50°．
17. 对顶角相等（答案不唯一） 解析：本题是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
18. 12 解析：∵ AB∥CD，∴ ∠BFC=∠ABE=66°.
在△EFD中，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,
∴ ∠E=∠BFC-∠D=12°．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面．
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
20.分析：（1）如果①②③，那么④⑤．过E点作EF∥AD，与AB交于点F，根据平行线的性质推出EF为梯形ABCD的中位线，根据平行线的性质和等量代换，即可推出∠4=∠3，AB=2EF，通过2EF=AD+BC，即可推出AB=AD+BC.（2）根据真命题的定义，写出命题即可．
解：（1）如果①②③，那么④⑤．
证明如下：如图，过E点作EF∥AD，与AB交于点F.
∵ AD∥BC，∴ EF∥BC.∵ DE=CE，∴ AF=BF.
即EF为梯形ABCD的中位线，∴ 2EF=AD+BC，
∴ ∠1=∠AEF，∠4=∠FEB.
∵ ∠1=∠2，∴ ∠2=∠AEF，∴ AF=EF.
∵ AF=BF，∴ BF=EF，∴ ∠3=∠FEB，∴ ∠4=∠3.
∵ AB=AF+BF，∴ AB=2EF.∵ 2EF=AD+BC，∴ AB=AD+BC．
（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①②⑤，那么③④．
21.分析：根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
证明：∵ ∠1=∠2，∴ ∠1+∠ECA=∠2+∠ACE，
即∠ACB=∠DCE.
在△ABC和△DEC中，∵ CA＝CD，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴ △ABC≌△DEC（SAS）．∴ DE=AB．
22.分析：（1）连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；
（2）利用（1）中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．
证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP=∠AFP=90°.
在Rt△AEP和Rt△AFP中，AE=AF，AP=AP，
∴ Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴ PE=PF．
（2）∵ Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴ ∠EAP=∠FAP，
∴ AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
23.分析：利用ASA证明两个三角形全等即可．
证明：∵ AC∥DF，∴ ∠ACB=∠DFE．
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴ △ABC≌△DEF．
24.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
第6题图
第10题图
第9题图
第12题图
第16题图
第13题图
第18题图
第21题图
第20题图
第23题图
第24题图
第12题答图
第16题答图
第20题答图
1 / 3《几何证明初步》单元测试1
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是( )
A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④
2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1＋∠3＝90°； ②∠2＋∠3＝90°；③∠2＝∠4，则( )
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确
（第2题图) （第3题图) （第4题图) （第5题图)
3．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于( )
A．63° B．62° C．55° D．118°
4．如图，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝50°则∠BPC的度数是( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．(枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( )
A．17° B．34° C．56° D．124°
6．(陕西)如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝28°，则∠AEC的大小为( )
A．17° B．62° C．63° D．73°
（第6题图) （第7题图) （第8题图) （第9题图)
7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是( )
A．∠1＋∠2－180° B．∠1－∠2
C．180°＋∠1－∠2 D．180°－2∠1＋∠2
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是( )
A．30° B．36° C．45° D．54°
9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为( )
A．110° B．115° C．120° D．130°
10．根据下图及已知条件，下列判断错误的是( )
A．由∠1＝∠2，得AB∥CD B．由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE∥CH
C．由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB∥CD D．由∠SAB＝∠SCD，得AB∥CD
（第10题图) （第11题图) （第12题图)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝____度．
12．(抚州)如图，a∥b，∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝____．
13．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝____．
（第13题图) （第14题图) （第15题图) （第17题图)
14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝____度．
15．如图，直线l1∥l2, ∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于____．
16．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题的是____．(填序号)
17．如图，AB∥CD，∠A ＝ 60°，∠C ＝ 25°，GH∥AE，则∠1 ＝____．
18．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别为___．
三、解答题(共66分)
19．(10分)直线AB，CD与GH交于点E，F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF＝∠DFH，求证：EM∥FN.
20. (10分)已知：△ABC中∠B的平分线与∠ACD的平分线交于点P.
求证：2∠P＝∠A.
21．(10分)如图，已知：AB∥DE，∠1＋∠3＝180°，求证：BC∥EF.
22．(10分)如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于点F.
(1)探求∠F与∠B、∠D有何等量关系？
(2)当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？
23．(10分)已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4＝∠C.求证：∠1＝∠2.
24．(16分)已知，如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A，B移动发生变化，请求出变化范围．
参考答案
检测内容：第七章 平行线的证明
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是( B )
A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④
2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1＋∠3＝90°； ②∠2＋∠3＝90°；③∠2＝∠4，则( A )
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确
（第2题图) （第3题图) （第4题图) （第5题图)
3．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于( B )
A．63° B．62° C．55° D．118°
4．如图，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝50°则∠BPC的度数是( B )
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．(枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( C )
A．17° B．34° C．56° D．124°
6．(陕西)如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝28°，则∠AEC的大小为( D )
A．17° B．62° C．63° D．73°
（第6题图) （第7题图) （第8题图) （第9题图)
7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是( A )
A．∠1＋∠2－180° B．∠1－∠2
C．180°＋∠1－∠2 D．180°－2∠1＋∠2
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是( C )
A．30° B．36° C．45° D．54°
9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为( B )
A．110° B．115° C．120° D．130°
10．根据下图及已知条件，下列判断错误的是( C )
A．由∠1＝∠2，得AB∥CD B．由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE∥CH
C．由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB∥CD D．由∠SAB＝∠SCD，得AB∥CD
（第10题图) （第11题图) （第12题图)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝__360__度．
12．(抚州)如图，a∥b，∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝__105°__．
13．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝__121°__．
（第13题图) （第14题图) （第15题图) （第17题图)
14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝__40__度．
15．如图，直线l1∥l2, ∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于__65°__．
16．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题的是__①②④__．(填序号)
17．如图，AB∥CD，∠A ＝ 60°，∠C ＝ 25°，GH∥AE，则∠1 ＝__145°__．
18．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别为__42°，138°或10°，10°__．
三、解答题(共66分)
19．(10分)直线AB，CD与GH交于点E，F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF＝∠DFH，求证：EM∥FN.
证明：∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∴∠BEF＝2∠MEF，∠DFH＝2∠NFH，∵∠BEF＝∠DFH，∴∠MEF＝∠NFH，∴EM∥FN.
20. (10分)已知：△ABC中∠B的平分线与∠ACD的平分线交于点P.
求证：2∠P＝∠A.
证明：在△ABC中，∠A＝180°－∠ABC－∠ACB，在△PCB中∠P＝180°－∠ABC－∠ACB－(180°－∠ACB)＝90°－(∠ABC＋∠ACB)＝∠A ∴2∠P＝∠A
21．(10分)如图，已知：AB∥DE，∠1＋∠3＝180°，
求证：BC∥EF.
证明：∵AB∥DE，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝180°，∴BC∥EF.
22．(10分)如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于点F.
(1)探求∠F与∠B、∠D有何等量关系？
(2)当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？
证明：(1)连CE，记∠AEC＝∠1，∠ACE＝∠2，∴∠D＋∠2＋∠1＋∠DEA＝180°，∠B＋∠1＋∠2＋∠BCA＝180°，∠F＋∠1＋∠2＋∠DEA＋∠BCD＝180°，由∠D＋∠2＋∠1＋∠DEA＋∠B＋∠1＋∠2＋∠BCA＝360°. ∴(∠D＋∠B)＋∠1＋∠2＋∠BCA＋∠DEA＝180°.∴∠1＋∠2＋∠BCA＋∠DEA＝180°－(∠D＋∠B)，即∠F＋180°－(∠D＋∠B)＝180°，∴∠F＝(∠B＋∠D) (2)设∠B＝2α，则∠D＝4α，∴∠F＝ (∠B＋∠D)＝3α，又∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x，∴x＝3.
23．(10分)已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4＝∠C.求证：∠1＝∠2.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADF＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF，∴∠2＝∠DAC，又∵∠4＝∠C，∴DG∥AC，∴∠1＝∠DAC，∴∠1＝∠2
24．(16分)已知，如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A，B移动发生变化，请求出变化范围．
解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY＝90°＋∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE＝∠ABY＝(90°＋∠OAB)＝45°＋∠OAB，即∠ABE＝45°＋∠CAB，又∵∠ABE＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
