青岛版八年级数学上册第5章几何证明初步专题专练学案（含答案）

《几何证明初步》专题专练
专题一 定义与命题
一、知识要点
1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
3.真命题、假命题与反例
真命题：正确的命题称为真命题.
假命题：不正确的命题称为假命题.
反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.
4.公理、定理、证明
公理：人们公认的真命题称为公理.
定理：经过证明了的真命题称为定理.
证明：推理的过程称为证明.
二、考点分析：该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假等. 多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要考点.
三、复习策略：应结合具体实例来理解命题的定义，体会寻找命题的题设和结论的常用方法----将命题改写成“如果……，那么……”的形式，能举反例说明一个命题是假命题，能利用推理的方法证明一个命题是真命题等.
四、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？
（1）两点之间，线段最短；（2）作线段AB=CD；（3）你今天上数学课了吗？（4）熊猫没有翅膀；（5）对于角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
解析：判断一个句子是否为命题需抓住两点：（1）命题必须是一个完整的语句，且是陈述句，不是疑问句、祈使句；（2）要对事情作出判断.根据这两条可知（2）、（3）不是命题，（1）、（4）、（5）是命题，且都是真命题.
例2 写出下列命题的条件和结论.
（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.
（2）对顶角相等.
解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.
（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.
专题练习一 定义和命题
1.把“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式是________.
2.下列语句中，不是命题的是（ ）
A.直角都相等 B.如果ab=0，那么a=0
C.不是对顶角的两个角相等 D.连接两点A、B
3.下列命题中，是真命题是是（ ）
A.互补的两角若相等，则此两角都是直角 B.直线是平角
C.不相交的两条直线叫平行线 D.和为180°的两个角叫邻补角
4.下列命题中，是真命题的是（ ）
（1）所有菱形都相似；
（2）任意两个等边三角形都相似；
（3）任意两个等腰三角形都相似；
（4）有一个角相等的两个直角三角形相似；
（5）同位角相等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例：
（1）若|a|=|b|，则a=b；
（2）两个锐角之和一定是钝角；
（3）实数与数轴上的点一一对应.
专题二 平行线的判定和性质
一、知识要点
1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.
2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.
3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.
平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.
4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.
平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.
注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.
二、考点分析：该考点主要涉及：（1）与两直线平行条件有关的开放题、探究题等；（2）运用平行线的性质进行计算或说理，解决生活中的一些实际问题等.在中考中多以填空题或选择题形式出现难度不大，但非常重要，在大题中，经常用到.
三、复习策略：应理解并熟记两直线平行的判定和性质，注意平行线的判定和性质的区别，同时也可进行适当的探究性问题的训练.
例1 如图1，在△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB；②BE=DF；③∠B=∠D；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.
分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.
解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.
求证：AD//BC.
证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，
所以△ADF≌△CBE.
所以∠A=∠C，所以AD//BC.
点评：证明两条直线平行，主要根据图形找同位角相等或内错角相等或同旁内角互补.
例2 如图2，AB//CD，EF分别交AB，CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G.
求：∠1的度数.
分析：由AB//CD，得∠1=∠2，所以要求∠1的度数，可求∠2的度数.由条件知，而∠BMF与∠EMB是邻补角，所以∠BMF=180°-50°=130°.于是可求得∠2的度数，进而得出∠1的度数.
解：因为AB//CD，所以∠1=∠2.
又因为∠EMB=50°，所以∠BMF=180°-50°=130°.
因为MG平分∠BNF，所以所以∠1=65°.
点评：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等或同旁内角互补）解决问题.
专题练习二
1.如图3，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是_____.
2.如图2，直线，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
3.如图5，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F.求证：EC//DF.
4.如图6，AB//EF，求证：∠BCF=∠B+∠F.
5.如图7，若要能使得AB//ED，∠B、∠C、∠D应满足什么条件？
专题三 三角形内角和定理
一、知识要点
1.探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.
二、考点分析：该考点主要是利用三角形的内角和定理求角的度数或判断三角形的形状.单独命题时以填空、选择题为主，但大多出现在综合题中.
三、温馨提示：复习时，应理解并熟记三角形内角和定理.
四、典例分析
例1 在△ABC中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A、∠B、∠C的度数，并判断△ABC的形状？
分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.
解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，
所以∠B=70°，∠C=30°，
所以△ABC为锐角三角形.
点评：在证明或计算三角形的角度的大小关系时，应注意“三角形的三个内角和等于180°”的隐含条件，合理地构造方程（组），特别是在求解有关三角形角的度数的问题时，应体现几何问题代数化，善于使用方程思想，以便于问题的正确求解.
例2 如图1，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB//CD.
分析：要证明AB//CD,根据图形可知，只需证明∠A=64°，利用内错角相等，两直线平行即可证明.或证明∠DCB+∠B=180°，利用同旁内角互补，两直线平行也可证明.为此需利用三角形内角和定理求出∠A或∠1的度数.
证明：在△ABC中，∠1+∠A+∠B=180°，
又∠B=42°，∠A+10°=∠1，
所以（∠A+10°）+∠A+42°=180°.
即2∠A+52°=180°，所以∠A=64°.
又因为∠DCA=64°，所以∠DCA=∠A.
所以AB//CD.
点评：证明两直线平行，借助于内错角相等，在推导内错角相等时，用到了三角形的内角和定理.
专题练习三
1.在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，则这个三角形是一个_________三角形.
2.小华到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图2所示的零件，工人师傅告诉他：AB//CD，∠BAE=35°，∠AEC=80°，小华马上运用所学的数学知识得出了∠ECD的度数，聪明的你一定知道∠ECD=_________.
3.若等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角的度数是_________.
4.如图3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
5.如图4，已知AB//DE，求证：∠B+∠C+∠E=360°.
专题四 关注三角形的外角
一、知识要点
三角形内角和定理的两个推论是：
推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.
关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.
二、考点分析：该考点主要涉及：（1）利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”求角的度数；（2）利用“三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角”来证明两角的不等关系.在中考中可以单独命题，但大多数出现在综合题中.
三、复习策略：应理解并熟记三角形的内角和定理的两个推论，并多练习利用它们解决有关的证明问题或计算问题的题目.
四、典例分析
例1 如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.
分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.
解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.
又∠2=∠3+∠4.
所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.
点评：求角的度数，根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此，只要知道了其中的两个角的度数，就可以求出另一个角的度数.
例2 如图2，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP.
求证：∠BPC>∠BAC.
分析：要求证明∠BPC>∠BAC，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC和∠BAC都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.
证法一：如图2（1）所示，延长BP交AC于点D.
由于∠BPC是△DPC的外角，所以∠BPC>∠CDP.
由于∠CDP是△ABD的外角，所以∠CDP>∠BAC.
所以∠BPC>BAC.
证法二：如图2（2）所示，连接AP并延长AP.
因为∠1是△ABP的外角，所以∠1>∠3.
因为∠2是△APC的外角，所以∠2>∠4.
所以∠1+∠2>∠3+∠4.
又因为∠1+∠2=∠BPC，∠3+∠4=∠BAC，
所以∠BPC>∠BAC.
点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.
专题练习四
1.如图3，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______.
2.下列语句中，正确的是（ ）
A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D.三角形的外角和等于180°
3.已知如图4所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=40°，∠DAE=70°，则∠ACD=（ ）
A.150° B.110° C.80° D.30°
4.如图5，△ABC中，∠A=40°，BP、CP是△ABC的外角平分线，则∠P的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
5.△ABC中，一个内角的大小是50°，∠A=∠B，那么∠C的外角是多少度？
参考答案
专题练习一
1.如果一条线段是垂线段，那么这条线段最短；2.D 3.C 4.C 5.（1）假命题.反例：如|2|=|-2|，但2≠-2；（2）假命题.反例：如两个锐角分别为20°、30°，但它们的和50°是锐角；（3）是真命题.
专题练习二
1.40°；2.C；
3.因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以，由因为∠ABC=∠ACB，所以∠DBF=∠ECB，又因为∠DBF=∠F，所以∠ECB=∠F，所以EC//DF.
4.过点C作CP//AB，因为AB//EF，所以CP//EF.易得∠BCP=∠B，∠FCP=∠F，所以∠BCP+∠FCP=∠B+∠F，即∠BCF=∠B+∠F.
5.∠ABC=∠C+∠D.证明略.
专题练习三
1.直角三角形；2.45°；3.80°、20°或50°、50°；
4.设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x.所以x+2x+2x=180°，解得x=36°，所以∠C=72°.
在△BDC中，因为∠BDC=90°，所以∠DBC=180°-90°-72°=18°.
5.连接BE.因为AB//DE，所以∠ABE+∠BED=180°，又∠BEC+∠C+∠CBE=180°，所以∠ABE+∠BED+∠CBE+∠C+∠BEC=360°，所以∠B+∠C+∠E=360°.
专题练习四
1.220°；2.C；3.C 4.C
5.当∠A=∠B=50°时，∠C的外角=∠A+∠B=100°；当∠C=50°时，∠C的外角=180°-50°=130°.
A
B
C
D
E
F
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A
B
M
E
F
C
N
G
D
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70°
31°
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C
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D
F
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B
C
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图5
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