华东师大版数学九年级上册 22.2.4 一元二次方程根的判别式（教案）

一元二次方程根的判别式
【教学目标】
一、知识与技能
1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；
2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围。
二、过程与方法
1．经历一元二次方程根的判别式的产生过程；
2．向学生渗透分类讨论的数学思想；
3．培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
三、情感态度
1．体验数学的简洁美；
2．培养学生的探索、创新精神和协作精神。
【教学重点】
根的判别式的正确理解与运用。
【教学难点】
含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用。
【教学过程】
一、情境导入，初步认识
用公式法解下列一元二次方程。
（1）x2+5x+6=0；
（2）9x2-6x+1=0；
（3）x2-2x+3=0。
解：
（1）x1=-2，x2=-3；
（2）x1=x2=；
（3）无解。
二、思考探究，获取新知
观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac。
我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：
。
归纳结论：
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根： ，；
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1：
利用根的判别式判定下列方程的根的情况：
解：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）无实数根；
（4）有两个不相等的实数根。
例2：
当m为何值时，方程（m+1）x2-（2m-3）x+m+1=0，
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：
（1）m＜且m≠-1；
（2）m=；
（3）m＞。
三、运用新知，深化理解
1．方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）。
A．有两个不相等的实数根；
B．有两个相等的实数根；
C．有一个实数根；
D．没有实数根。
2．已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根。
答案：
1．B；
2．证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0，∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m，即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根。
四、师生互动，课堂小结
1．用判别式判定一元二次方程根的情况。
（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。
（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根。
2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件。
【教学反思】
本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力。
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