2021－2022学年人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形固提高 （word版含解析）

《正方形》复习巩固
班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、解答题
1. 如图，在 中，， 平分 交 于点 ， 于点 ， 于点 ．求证：四边形 是正方形．
2. 如图，正方形 的边长为 ， 是对角线， 平分 ， ．
（1） 求证： ．
（2） 求 的长．
3. 如图，四边形 是正方形， 是 上任一点（点 与 、 不重合）， 于 ， 交 于 ．求证：．
4. 如图，在四边形 中，，对角线 平分 ， 是 上一点，过点 作 ，，垂足分别为 ，．
（1） 求证：；
（2） 若 ，求证：四边形 是正方形．
5. 如图，四边形 是正方形，，， 与 交于点 ．
（1） 求证：；
（2） 若 ，求 的大小．
6. 如图，已知 是 的角平分线， 交 与点 ， 交 与点 ．
（1） 求证：四边形 是菱形；
（2） 当 满足什么条件时，四边形 是正方形 并说明理由．
7. 如图， 是正方形 对角线 上一点，点 在 上，且 ．
（1） 求证：；
（2） 连接 ，试判断 的度数，并证明你的结论．
8. 如图， 中，， 是 的角平分线，点 为 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，．
（1） 求证：四边形 是矩形；
（2） 当 满足什么条件时，矩形 是正方形，并说明理由．
9. 如图，正方形 中，， 分别为边 ， 上一点，且 ．求证：四边形 是平行四边形．
10. 如图，在四边形 中， 、 交于点 ，，，．
（1） 求证：四边形 是矩形；
（2） 要使四边形 是正方形，请直接写出 、 还需要满足的条件．
11. 如图所示，四边形 是正方形， 是等边三角形，求 的度数．
12. 如图，正方形 ，， 分别为 ， 的中点．求证：．
13. 如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，．
（1） 求证：；
（2） 连接 交 于点 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，，判断四边形 是否是菱形，并说明理由．
14. （1）如图，正方形 的顶点 、 在正方形 的边 、 上，连接 、 ．求证：．
（2） 如图，在 中，，， 平分 ，交 于 ，，交 于 ，求 的度数．
答案
第一部分
1. 证法一：
平分 ，，且 ，，
，，
，
．
同理可得 ，
，
四边形 是菱形．
又 ，
菱形 是正方形．
证法二：
，，，
四边形 是矩形．
平分 ，，，
，
矩形 是正方形．
2. （1） 证明： ， ； 平分
故
又 在 中，
故 则
（2） 正方形 的边长为 对角线
由（1）得，
3. 四边形 是正方形，
，．
又 ，，
．
．
．
（）．
，．
，
．
4. （1） 平分 ，
．
又 ，，
．
．
（2） ，，
．
又 ，
四边形 是矩形．
，，，
．
四边形 是正方形．
5. （1） 四边形 是正方形，
，．
，
．
，，
．
在 和 中，，，，
（）．
．
（2） ，
．
又 ，
．
四边形 是正方形，
．
又 ，
．
．
6. （1） ，，
，．
四边形 是平行四边形．
．
又 是 的角平分线，
．
．
四边形 是菱形．
（2） 由（1）知，四边形 是菱形．
当四边形 是正方形时，，即 ，
的 时，四边形 是正方形．
7. （1）
四边形 是正方形，
，．
又 ，
．
．
又 ，
．
（2） 判断：．
证明： 四边形 是正方形，
．
，
．
，
．
．
又 ，
．
．
又 ，
．
8. （1） 点 为 的中点，，
四边形 是平行四边形．
， 是 的角平分线，
，
，
平行四边形 是矩形．
（2） 当 时，矩形 是正方形．
，， 是 的角平分线，
．
由（1）得四边形 是矩形，
矩形 是正方形．
9.
四边形 是正方形，
，，
，
又 ，
，
，
四边形 是平行四边形．
10. （1） ，
四边形 是平行四边形．
，
．
，
．
是矩形．
（2） ．
11. 是等边三角形，
，
．
在正方形 中，，，
．
又 ，
．
同理 ，
．
12. 四边形 为正方形，
，，．
， 分别为 ， 的中点，
，．
．
在 和 中，
（）．
．
13. （1） 在正方形 中，，，
在 和 中，，，，
，
．
（2） 四边形 是菱形．
理由如下：在正方形 中，，
，
，即 ，
，
，
垂直平分 ，
又 ，
四边形 是菱形．
14. （1） 四边形 和 都是正方形，
，，．
，，
．
在 和 中
．
．
（2） 在 中，，，
．
平分 ，
．
，
．
第3页（共9页）