第11讲 导数的几何意义应用
【高考地位】
导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解. 导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小．
类型一 求在某点的切线方程
万能模板 内 容
使用场景 在某点的切线方程
解题模板 第一步 计算函数的在曲线上该点处的导函数； 第二步 运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率； 第三步 得出结论.
【例1】 【天壹名校大联盟2020届高三6月大联考】曲线在点处的切线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【变式演练1】已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（文）试题
【变式演练2】【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）】曲线在处的切线与直线相互垂直，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式演练3】【2020年伯乐马模拟考试（二）】已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练4】【陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测】函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练5】【河南省名校联盟2020届高三下学期6月联考】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练6】【江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷】已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.
类型二 过点求曲线的切线方程
万能模板 内 容
使用场景 过点求曲线的切线方程
解题模板 第一步 设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数； 第二步 充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系； 第三步 利用方程的思想即可得出结论.
例2 若直线是曲线的一条切线，则______．
【变式演练7】过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ）
A．e B．1 C． D．
【来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）数学试题
【变式演练8】（多选）已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（ ）
A．－2 B．4 C．0 D．6
【来源】辽宁省2021届高三临门一卷（一）数学试题
【变式演练9】【广西南宁三中2019-2020学年下学期期末考试】已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
类型三 共切线问题
万能模板 内 容
使用场景 两个曲线的公切线问题
解题模板 第一步 分别设出两个曲线上切点的坐标为，,并求出函数和在切点处的导数； 第二步 充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解 题的等量关系，如斜率相等（尤其两点的斜率）和点既在曲线上又在曲线上； 第三步 利用方程的思想即可得出结论.
例3．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.
【变式演练10】已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题
【变式演练11】【江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数，，若曲线与在处有相同的切线，则函数的最小值为________.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数的图像在点处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数10】若直线与曲线和圆相切，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】曲线在点处的切线方程为__________．
8. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
10. 【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】曲线在点处的切线的斜率为，则________．
11.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.
12.【2015新课标2文16】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= ．
13.【2017天津文，19】设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
14.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）】设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
15.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.
【反馈练习】
1．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（ ）
A． B． C．e2 D．
【来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）
2．设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题
3．【2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（三）】已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．【2020年高考全国卷考前冲刺演练】已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
5．【2020年高考命题专家押题卷】已知函数与在交点处有公共的切线，则（ ）
A． B． C． D．
6．【陕西省西安市2020届高三下学期第二次质量检测】已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
7．【浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷】已知正数、、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．【内蒙古开鲁县第一中学2019-2020学年下学期期末考试】设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟（一）】已知函数，若方程有3个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．【安徽省六安市第一中学2019-2020学年下学期期中】已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
11．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（三）】已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．【云南师范大学附属中学2020届高三适应性月考】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．18
13．【甘肃省兰州市西北师大附中2020届6月高三诊断考试】已知点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，若存在使得成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
14．【2020届重庆市南开中学高三高考模拟】若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
15．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数，则函数在处的切线方程为______.
16．【金科大联考2020届高三5月质量检测】曲线过原点的切线方程为______.
17．【四川省资阳市2020届高三模拟考试】已知函数，且对恒成立，则曲线在点处的切线的斜率为______.
18.【福建省三明市2020届高三（6月份）】设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为_______.
19．【湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测】已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________.
20．【宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年度高三年级10月月考】已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是______.
21．函数在点处的切线的方程为___________.
【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题
22．曲线在点处的切线方程为____________.
【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（理）试题
23．设函数，则曲线在点处的切线方程为___________.
【来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》数学试题
24．曲线在点处的切线经过坐标原点，则___________.
【来源】全国2021届高三高考数学（文）预测试题
25．曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
【来源】安徽省合肥市第八中学2021届高三下学期高考模拟最后一卷文科数学试题
26．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.
【来源】重庆市康德卷2021届高三下学期模拟6数学试题
27．若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．
【来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模数学（理）试题
28．【山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三第9次模拟考试】已知函数.
（1）若曲线与直线在处相切.
①求的值；
②求证：当时，；
（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
29．【福建省漳州市、南平市2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．
30．已知函数
（1）若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线l的方程；
（2）证明：．（参考数据：）
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题
1 / 3第12讲 导数与函数的单调性问题
【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
万能模板 内 容
使用场景 知函数的解析式判断函数的单调性
解题模板 第一步 计算函数的定义域； 第二步 求出函数的导函数； 第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
类型二 判定含参数的函数的单调性
万能模板 内 容
使用场景 函数的解析式中含有参数
解题模板 第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数； 第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
类型三 由函数单调性求参数取值范围
万能模板 内 容
使用场景 由函数单调性求参数取值范围
解题模板 第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4 B．16 C．20 D．18
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题
4.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A . B. C. D.
5.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
9.（2018年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【反馈练习】
1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数，若对任意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.
6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______
7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题
9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________
【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题
10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知函数在上单调递增，求实数的范围.
11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若，为两个不等的正数，求证.
12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数，的导数为.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，求证.
13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，，其中.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，，求的值.
15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．
17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有唯一的零点.
18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数满足，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，求证：．
19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.
21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．
22．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
23．已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.
【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
24．已知函数.
（1）求的单调性；
（2）设函数，讨论的零点个数.
【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三）
25．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二）
26．已知（）
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.
【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题
27．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值.
【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题
28．已知函数．
（1）若，证明：在单调递增；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题
29．已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．
【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题
30．已知函数.
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题
31．已知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点．
【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题
32．已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．
【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题
1 / 3第13讲 利用导数解决函数的极值、最值
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
类型一 利用导数研究函数的极值
万能模板 内 容
使用场景 一般函数类型
解题模板 第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数； 第二步 求方程的根； 第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.
例1 已知函数，求函数的极值.
【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题
【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题
【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题
【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
类型二 求函数在闭区间上的最值
万能模板 内 容
使用场景 一般函数类型
解题模板 第一步 求出函数在开区间内所有极值点； 第二步 计算函数在极值点和端点的函数值； 第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2 【河南省天一大联考2020届高三阶段性测试】 已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市2020届高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中】已知函数
（1）若为单调增函数，求实数的值；
（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.
【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题
【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数，则的最小值是_____________．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
6．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
7．【2018年全国卷Ⅲ理数】已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
8．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】
设函数，其中,且是公差为的等差数列.
（I）若 求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【反馈练习】
1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
【来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模数学（理）试题
2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（理）押题试题（三）
3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试试题
4．已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（二）
5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（九）数学（理）试题
6．若是函数的极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
【来源】四川省凉山州2021届高三三模数学（文）试题
7．下列函数中，的最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考数学试题
8．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（三）
9．函数在上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学（文）试题
10．函数，.若，则的最小值为（ ）
A． B．
C．3 D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题
11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省黄冈中学2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题
12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题
13．关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【来源】安徽省皖江联盟2021届高三下学期最后一卷理科数学试题
14．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题
15．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.
（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.
16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考】已知函数
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.
17．【西南地区名师联盟2020届高三入学调研考试】已知函数，、为常数，且，.
（1）证明：；
（2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小.
18．【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.
（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；
（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.
19．【江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；
（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．
20．【陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数．
（1）当时，求f(x)的最小值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
1 / 3第14讲 导数综合应用的解题模板
【高考地位】
导数综合问题是高考的必考的重点内容，主要在导数解答题的的第2小问，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
类型一 利用导数研究不等式证明问题
万能模板 内 容
使用场景 一般函数的不等式证明问题
解题模板 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)； (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解．
例1 (2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
【变式演练1】（作差法证明不等式）【河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（文）】
已知函数，为的导函数．
（1）设，求的单调区间；
（2）若，证明：．
【变式演练2】（换元法证明双变量不等式）【四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）】已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
【变式演练3】（利用二次方程韦达定理证明双变量不等式）【四川省新津中学2021届高三上学期开学考试数学（文）】已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：．
【变式演练4】（极值点偏移类的不等式证明）【安徽省2020届高三5月五校联考数学理科】已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.
【变式演练5】（函数与数列综合的不等式证明）【江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（二）】已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
【变式演练6】（拆分法证明不等式）【安徽省马鞍山市2020届高三第三次教学质量监测】已知，.
（1）证明：时，；
（2）求函数的单调区间；
（3）证明：时，.
类型二 利用导数研究不等式恒成立问题
万能模板 内 容
使用场景 有关不等式恒成立问题
解题模板 分类讨论法：常见有两种情况：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，确定以导函数值正负为分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数． 对利用导数研究不等式恒成立问题(能成立问题)，一般可转化为最值问题处理．若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a例2(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围.
【变式演练7】（分离参数法解决不等式恒成立问题）【浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.
【变式演练8】（利用函数最值解决双参数恒成立问题）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第一次验收考试】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：在上单调递增.
（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.
【变式演练9】（等价转化法解决不等式恒成立问题）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试】已知函数f(x)＝ex＋，其中e是自然对数的底数.
（1）若关于x的不等式mf(x)≤＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)类型三 利用导数研究函数零点问题
万能模板 内 容
使用场景 有关零点问题
解题模板 两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件——函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0. ①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明f(a)·f(b)<0； ②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
例3(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
【变式演练9】（研究函数零点个数）【江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期8月测试】设函数（，）的导函数为.已知，是的两个不同的零点.
（1）证明：；
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）求关于的方程的实根的个数.
【变式演练10】（已知零点存在情况求参数的值）【安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若为直线与函数图像的一个公共点，其横坐标为，且，求整数的所有可能的值.
【变式演练11】（已知零点存在情况求参数的取值范围）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第一次验收考试】已知函数.
（1）当时，讨论的单调性：
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
【高考再现】
1.（零点问题）（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
2.（函数图象问题）（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3.（不等式证明问题）（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
4.（零点问题）【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
5．（零点问题）【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）若有三个零点，求的取值范围．
6．（恒成立问题）【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
7．（恒成立问题）【2020年高考山东卷21】
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
8．（证明不等式问题）【2020年高考全国Ⅲ卷理数21】设，曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：的所有零点的绝对值都不大于．
9．（零点问题＋证明不等式问题）【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【反馈练习】
1．已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研数学试题
2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】解密05 导数及其应用（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
3．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_________．
【来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）数学试题
4．已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）若在定义城上有两个极值点，求证：．
【来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）数学试题
5．已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围．
【来源】陕西省汉中市2021届高三下学期高考一模理科数学试题
6．已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【来源】押第21题 导数的应用-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）
7．定义在上的关于的函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）在上恒成立，求的取值范围．
【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月文科数学调研试题
8．已知定义在内的函数的导函数.
（1）证明：；
（2）当时，证明：函数恰有两个极值点.
【来源】全国2021届高三高考数学信心提升试题
9．已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研数学试题
10．函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月理科数学调研试题
11．已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.
【来源】重庆市第七中学2021届高三下学期高考仿真模拟数学试题
12．设函数．
（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，．
【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题
13．已知函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题
14．已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．
【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题
15．已知函数在与时都取得极值．
（1）求，的值与函数的单调区间；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【来源】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：.
【来源】黑龙江省大庆市2021届高三二模数学（文）试题
17．已知函数的导函数为.
（1）当时，求证：；
（2）若只有一个零点，求m的取值范围.
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题
18．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（文）试题
19．已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）证明：.
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（理）试题
20．已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.
【来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考数学（理）试题
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