2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习《第 5 章 函数的概念、性质及应用》知识点解读与例析（2） （word含答案解析）

【沪教版2020】必修 第一册 章节 知识点 内容提要解读与例析
【学生版】
《第 5 章 函数的概念、性质及应用》知识点解读与例析（2）
【知识点 巩固练习】
知识点1、函数的概念
1、下列集合到集合在对应关系下是函数的是 （ ）
A. ，中的数平方
B. ，中的数开方
C. ，中的数取倒数
D. ，中的数取绝对值
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
知识点2、函数的定义域、值域
2、求函数的定义域与值域；
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】1、函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，那么定义域是使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围，列不等式（组成）求函数的定义域时，考虑问题要全面，找出所有制约自变量取值的条件：
①若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合；
②若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
③若，则定义域是；
④若，则，且；
⑤实际问题对变量的限制
⑥若，则；
2、没有给出具体的函数解析式的函数称为抽象函数，抽象函数的定义域(1)函数的定义域是指x的取值范围所组成的集合；函数的定义域是指x的取值范围，而不是的取值范围；
3、函数的值域：函数的值域是对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合；函数的定义域和对应关系决定值域；常用的方法有：
②①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
②配方法：对二次函数的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域；
③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而可利用基本函数的取值范围求函数的值域；
④分离常数法：将形如的函数，先分离常数，变形过程为＝＝，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域；
⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；
当然，求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，应注意选择最优解法，另外要特别注意定义域；
知识点3、两个函数相同
3、下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；； （2）；；
（3）；； （4）；；
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征；只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
①定义域不同，两函数不同；②对应关系不同，两函数不同；③即使定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数；例如，函数与的定义域给与值域都相同，但它们不是同一函数.
因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，如与是同一函数；
知识点4、函数的表示方法
4、已知，求.
知识点5、分段函数
5、设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数；
【拓展】知识点6、复合函数
6、（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
知识点7、函数的奇偶性
7、（1）若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数；
（2）若对于任意实数，函数都有，求证：为偶函数；
（3）设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数；
知识点8、函数的单调性
8、已知：函数
（1）讨论的单调性；（2）试作出的图像；
知识点9、函数的最值
9、（1）函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为（ ）
A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对
（2）当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
知识点10、函数关系的建立
10、某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
知识点11、函数的零点
11、若函数仅有一个零点，求实数。
知识点12、二分法
12、求方程的一个近似解（精确度0.1）。
知识点13、反函数
13、已知函数；
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性；
知识点14、命题
14、若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点15、互为反函数的图像性质
14、若函数的图像过点，则的图像经过点
【教师版】
《第 5 章 函数的概念、性质及应用》知识点解读与例析（2）
【知识点 巩固练习】
知识点1、函数的概念
1、下列集合到集合在对应关系下是函数的是 （ ）
A. ，中的数平方
B. ，中的数开方
C. ，中的数取倒数
D. ，中的数取绝对值
【提示】注意：定义域、值域是非空数集，“一个自变量的值对应唯一的函数值”是关键；
【答案】A；
【解析】按照函数定义；
选项B中，集合A中的元素1对应集合中的元素，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；
选项C中的元素0取倒数没有意义，不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义；
只有选项A符合函数定义；
【说明】（1）定义域或值域为空集的函数不存在，如：就不是函数；
（2）集合A就是定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；
（3）符号表示“x对应的函数值”，f表示对应关系；
（4）“”是一个整体，不可分开，也不能理解或“f﹒x”；
知识点2、函数的定义域、值域
2、求函数的定义域与值域；
【提示】注意：自变量的限制条件与依据“对应法则”选择恰当的求值域方法；
【答案】定义域是：；值域是：；
【解析】由题意，得，所以，函数的定义域是；
再不妨令，则， ，所以；
因为，所以，所以，原函数的值域为；
【说明】1、函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，那么定义域是使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围，列不等式（组成）求函数的定义域时，考虑问题要全面，找出所有制约自变量取值的条件：
①若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合；
②若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
③若，则定义域是；
④若，则，且；
⑤实际问题对变量的限制
⑥若，则；
2、没有给出具体的函数解析式的函数称为抽象函数，抽象函数的定义域(1)函数的定义域是指x的取值范围所组成的集合；函数的定义域是指x的取值范围，而不是的取值范围；
3、函数的值域：函数的值域是对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合；函数的定义域和对应关系决定值域；常用的方法有：
②①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
②配方法：对二次函数的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域；
③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而可利用基本函数的取值范围求函数的值域；
④分离常数法：将形如的函数，先分离常数，变形过程为＝＝，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域；
⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；
当然，求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，应注意选择最优解法，另外要特别注意定义域；
知识点3、两个函数相同
3、下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；； （2）；；
（3）；； （4）；；
【提示】注意：函数构成“三要素”与函数相等的定义；对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立；
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是；
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
【说明】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征；只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
①定义域不同，两函数不同；②对应关系不同，两函数不同；③即使定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数；例如，函数与的定义域给与值域都相同，但它们不是同一函数.
因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，如与是同一函数；
知识点4、函数的表示方法
4、已知，求.
【提示】注意：理解函数解析式的特征；
【答案】；
【解析】方法1（换元法）：令，则，
由，得，
所以所求函数的解析式为；
方法2（配凑法）：因为，
所以，
又因为所以所求函数的解析式为；
【说明】1、求函数解析式的常用方法：（1）换元法：已知求时，可以设，解出x代入；（2）配凑法：原函数的表达式为，t是关于x的式子，要求的解析式，这时只需要把通过变形、整理，使其变为只含t与常数的式子，然后将t换成x，即可得到的解析式，这种方法叫做配凑法；（3）配凑法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；
2、函数的三种表示方法的优缺点比较：
优点 缺点 联系
解析法 （1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式可以求出在定义域的任意一个自变量所对应的函数值。 不够形象、直观，具体。而且并不是所有的函数都能用解析式来表示。 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情景时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值。 只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系。
图像法 能形象、直观地反映函数的变化情况。 只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大。
知识点5、分段函数
5、设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数；
【答案】
【说明】
1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的；
2、分段函数的解析式不能写成几个不同的方程。而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况；
3、写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏；研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像；分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集，写定义域时，区间端点应不重不漏；求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于那一段，就用哪一段的解析式求解。
【拓展】知识点6、复合函数
6、（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【提示】（1）若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域；
【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．
【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，故，即，解得，所以函数的定义域为[0，]；
（2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5] .由此得函数的定义域为[3，5] ；
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得，所以函数的定义域为[2，3] ；
【说明】求复合函数的定义域或值域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的；
知识点7、函数的奇偶性
7、（1）若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数；
（2）若对于任意实数，函数都有，求证：为偶函数；
（3）设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数；
【提示】注意：理解函数奇偶性的定义与“代数”判别方法；
【证明】（1）设，则，所以；
又设，则，所以，所以是奇函数；
（2）令，得 ，令，得
由①②，得，即，所以是偶函数；
（3）对任意，必有，所以的定义域也是
设，
则与的定义域也是，显然是关于原点对称的区间，
而，
所以是偶函数，是奇函数；
故是偶函数，是奇函数；
【说明】本题属于抽象函数奇偶性的判断；
1、函数奇偶性的判定 判断函数的奇偶性主要分三步进行：
（1）判断函数的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）化简函数的解析式（注意定义域）；
（3）求出，根据与之间的关系，判断函数的奇偶性：
①由或，得，则是奇函数；
②由或，得，则是偶函数.
【模板】判断函数奇偶性的常见类型：（定义域关于原点对称的前提下）
（1）若，则是奇函数；
（2）若，则是偶函数；
（3）若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
（4）若，且，则既是奇函数，又是偶函数.由知，所以，即定义域关于原点对称的常数函数既是奇函数，又是偶函数，而定义域关于原点对称的非常数函数是偶函数；
知识点8、函数的单调性
8、已知：函数
（1）讨论的单调性；（2）试作出的图像；
【提示】考查对单调性定义的理解，体验利用定义是证明单调性；
【解析】（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1①当时，，，所以，，
故，即f(x1) f(x2)<0，所以，x1所以，上是严格增函数.
②当1故，即f(x1)-f(x2)>0，所以，x1f(x2)
所以，上是严格减函数；
同理：函数是严格减函数, 函数是严格增函数；
（2）函数的图像如下
【说明】通过本题说明函数单调性的定义是判别函数单调性的最基本方法；选择如何比较两个量的大小的“途径”：作差、作商、分解成若干初等函数的和等等；再依据不等式性质，如何判断一个式子的符号？(对差、商适当变形)；结合定义得出结论；
附：函数单调性的判断方法
（1）定义法；
（2）图像法；
（3）对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数；
知识点9、函数的最值
9、（1）函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为（ ）
A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对
（2）当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【提示】注意：依据不等式性质或配方法这两种最基本的求值域（最值）的方法；
【答案】（1）A；（2）C；
【解析】（1）当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
所以，f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10；故选A；
（2）令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1；
又因为，x∈[0,2]，所以，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，则a<0；
【说明】求函数最大(小)值的常用方法：
（1）依据不等式性质；
（2）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围；判别式法:主要适用于可化为关于的二次方程的函数,在由,且求出值后,要检验这个最值在函数的定义域内是否有相应的的值；
（3）换元法:用换元法时一定要注意新元的取值范围；
（4）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；
（5）利用函数的单调性：要注意函数的单调对函数最值得影响,特别是闭区间上函数的最值.
【注意】求函数的最值问题实质上是求函数的值域问题，因此求函数最值得方法，也是求函数的值域的方法，只是出题的方式有所差异；最值题：强调“等号”成立条件；
知识点10、函数关系的建立
10、某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
【提示】注意：寻找“等量关系”；关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值；
【答案】4；
【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，则
，
当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c，
所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低；
【说明】解答本题的关键是：建立函数关系式，明确定义域；题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解；
知识点11、函数的零点
11、若函数仅有一个零点，求实数。
【提示】明确函数零点的定义；
【答案】或；
【解析】若，则为一次函数，易知函数仅有一零点；
若，则为二次函数，若其仅有一个零点，
则方程有两个相等的实数根，故，即；
综上所述，当或时，函数仅有一个零点；
【说明】函数零点的求法
（1）代数法：求函数零点就是求相应方程的实数根。一般可以借助于求根公式、因式分解、运算性质等求出方程的根；
（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数的图像联系起来，借助图像，利用函数的性质找出零点；
知识点12、二分法
12、求方程的一个近似解（精确度0.1）。
【提示】注意：用二分法求方程的近似解的操作步骤；
【解析】设。因为，在区间内单调递增，
所以在区间内，方程有唯一的实数根为取2与3的平均数
因为，所以，再取2与2.5的平均数2.25，
因为，所以；
如此继续下去，有，所以；
，所以；因为，
所以方程的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375；
【说明】若方程有实数根，且不是整数根，一般情况下可首先将方程的根限制在某两个连续整数之间（若，则方程在区间内至少有一个实数根），这样方便计算，然后用二分法求方程的近似根，在计算过程中，要依据给出的精确度及时检验，由此决定是停止计算还是继续计算；
知识点13、反函数
13、已知函数；
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性；
【提示】注意：求反函数的步骤；
【答案】（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析.
【解析】（1）由已知，原函数的定义域为：；又，
因为，所以，，则，
且，解得，
所以，原函数的反函数为：，定义域为；
（2）在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，，，
所以，即；
【说明】求反函数的步骤
（1）求原函数的定义域（即原来函数的值域）；
（2）求原函数的值域；
（3）解关于x的方程y=f(x)，求出x关于y的表达式；
（4）交换x与y；得到原函数的反函数，标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域；
知识点14、命题
14、若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）
A． B． C． D．
【提示】将方程有解的问题转化为函数图像有交点的问题进行研究即可得出答案；
【答案】B；
【解析】由题意知，与的交点为，与的交点为，
而与的图像关于直线对称，且的图象关于直线对称，
所以点与点关于直线对称，
联立方程组，可得，由中点坐标公式可得：
故选：B；
【说明】本题考查方程的解和函数图像交点的关系，考查利用对称性求解问题的能力；
知识点15、互为反函数的图像性质
14、若函数的图像过点，则的图像经过点
【提示】注意：两点关于直线对称的数量特征；
【答案】；
【解析】由函数的图像过点，根据反函数的对称性，可得函数的图象过点，则函数的图像经过点，故答案为：；
【说明】本题主要考查了原函数与反函数的图像特征；就是：两点关于直线对称的数量特征；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）