高中数学人教新课标A版必修4 2.4 平面向量的数量积(word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标A版必修4 2.4 平面向量的数量积(word含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 149.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-09 16:28:43 | ||
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文档简介
2.4 平面向量的数量积
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 为两个非零向量的夹角，则 的取值范围为
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为
A. 或 B. 或 C. D.
3. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，，则
A. B. C. D.
5. 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕达哥拉斯定理早五百到六百年．如图，现有 满足“勾三股四弦五”，其中 ，，点 是 延长线上的一点，则 等于
A. B. C. D. 不能确定
6. 如图所示，在三角形 中，，，，点 为 的中点，，则 的长度为
A. B. C. D.
7. 已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，．若 ，，则
A. B. C. D.
8. 已知向量 ，，则
A. B.
C. D.
9. 如图，已知圆 ，四边形 为圆 的内接正方形，， 分别为 ， 的中点，当正方形 绕圆心 转动时， 的取值范围是
A. B.
C. D.
10. 已知两点 ，，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知平行四边形 的两条对角线相交于点 ，，，，其中点 在线段 上且满足 ， ，若点 是线段 上的动点，则 的最小值为 ．
12. 已知点 ，，，则向量 在 方向上的投影为 ．
13. 已知非零向量 ， 满足 ，，则 的最小值为 ．
14. 已知 ，，，若 点是 所在平面内一点，且 ，则当 时， 取得最大值，最大值为 ．
15. 如图，在等腰三角形 中，已知 ，，， 分别是 ， 上的点，且 ，，其中 ，且 ，若线段 ， 的中点分别为点 ，，则 的最小值是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知向量 ， 为非零向量，且
（1）求证：
（2）若 ，，求 与 的夹角 ．
17. 在平面直角坐标系中，已知三点 ，，，， 为坐标原点．
（1）若 是直角三角形，求 的值；
（2）若四边形 是平行四边形，求 的最小值．
18. 已知 ，，且 ．
（1）用 表示数量积 ；
（2）求 的最小值，并求出此时 与 的夹角 的大小．
答案
第一部分
1. D
2. B 【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
3. D
4. A 【解析】由两向量的夹角公式，可得 ，则 ．
5. C
6. C 【解析】以 为原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 ，，则：，，，，；
所以 ，；
所以 ；
因为 ，所以解得 ；
所以 ，又 ；
所以 ．
7. C 【解析】如图
设 ，，
又因为边长为 ，
因为 ，
所以 ，，
所以
又因为 ，
所以 ，
所以
由①②解得 或
所以 或
所以 ．
8. B 【解析】因为向量 ，，
所以 ，
故 和 不共线，故A错误；
因为 ，故 ，故B正确；
因为 ，
因为 ，故 和 不平行，故C错误；
因为 ，故 和 不垂直，故D错误．
9. B 【解析】由题意可得：，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的半径为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
10. D
【解析】设 ，则 ，，
由题意知，方程 有解，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
11. ，
【解析】在 中，，，，
所以
所以 ，
则有 ，
所以 ，则 ，
在 中，
因为
解得 ，
所以 ，
取 的中点为 ，
故同理可得 ，
又 ，
设点 到 的距离为 ，
则有 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ．
12.
【解析】由题意知向量 ，向量 ，
设向量 与向量 的夹角为 ，
则 ，
又 ，
，，
所以
所以向量 在向量 方向上的投影为 ．
13.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以
当 时取等号，
故 ，
故 的最小值为 ．
14. ，
【解析】以 为坐标原点，， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，建立平面直角坐标系（图略），
则 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即 的最大值为 ．
15.
【解析】根据题意，连接 ，，如图所示．
在等腰三角形 中，已知 ，，
则由向量的数量积运算可知 ．
线段 ， 的中点分别为点 ，，
则 ，
．
由平面向量的线性运算可得
，
所以
因为 ，代入化简可得 ．
因为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ．
第三部分
16. （1） 略
（2）
17. （1） 由题意得，
，，，
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，无解，
所以 的值为 或 ．
（2） 若四边形 是平行四边形，则 ，
设点 的坐标为 ，
即 ，
所以 即 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
18. （1） 由 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
（2） ，
当且仅当 时等号成立，
此时 与 的夹角 的余弦值 ，
又因为 ，
所以 ．
第1页（共1 页）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 为两个非零向量的夹角，则 的取值范围为
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为
A. 或 B. 或 C. D.
3. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，，则
A. B. C. D.
5. 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕达哥拉斯定理早五百到六百年．如图，现有 满足“勾三股四弦五”，其中 ，，点 是 延长线上的一点，则 等于
A. B. C. D. 不能确定
6. 如图所示，在三角形 中，，，，点 为 的中点，，则 的长度为
A. B. C. D.
7. 已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，．若 ，，则
A. B. C. D.
8. 已知向量 ，，则
A. B.
C. D.
9. 如图，已知圆 ，四边形 为圆 的内接正方形，， 分别为 ， 的中点，当正方形 绕圆心 转动时， 的取值范围是
A. B.
C. D.
10. 已知两点 ，，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知平行四边形 的两条对角线相交于点 ，，，，其中点 在线段 上且满足 ， ，若点 是线段 上的动点，则 的最小值为 ．
12. 已知点 ，，，则向量 在 方向上的投影为 ．
13. 已知非零向量 ， 满足 ，，则 的最小值为 ．
14. 已知 ，，，若 点是 所在平面内一点，且 ，则当 时， 取得最大值，最大值为 ．
15. 如图，在等腰三角形 中，已知 ，，， 分别是 ， 上的点，且 ，，其中 ，且 ，若线段 ， 的中点分别为点 ，，则 的最小值是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知向量 ， 为非零向量，且
（1）求证：
（2）若 ，，求 与 的夹角 ．
17. 在平面直角坐标系中，已知三点 ，，，， 为坐标原点．
（1）若 是直角三角形，求 的值；
（2）若四边形 是平行四边形，求 的最小值．
18. 已知 ，，且 ．
（1）用 表示数量积 ；
（2）求 的最小值，并求出此时 与 的夹角 的大小．
答案
第一部分
1. D
2. B 【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
3. D
4. A 【解析】由两向量的夹角公式，可得 ，则 ．
5. C
6. C 【解析】以 为原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 ，，则：，，，，；
所以 ，；
所以 ；
因为 ，所以解得 ；
所以 ，又 ；
所以 ．
7. C 【解析】如图
设 ，，
又因为边长为 ，
因为 ，
所以 ，，
所以
又因为 ，
所以 ，
所以
由①②解得 或
所以 或
所以 ．
8. B 【解析】因为向量 ，，
所以 ，
故 和 不共线，故A错误；
因为 ，故 ，故B正确；
因为 ，
因为 ，故 和 不平行，故C错误；
因为 ，故 和 不垂直，故D错误．
9. B 【解析】由题意可得：，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的半径为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
10. D
【解析】设 ，则 ，，
由题意知，方程 有解，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
11. ，
【解析】在 中，，，，
所以
所以 ，
则有 ，
所以 ，则 ，
在 中，
因为
解得 ，
所以 ，
取 的中点为 ，
故同理可得 ，
又 ，
设点 到 的距离为 ，
则有 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ．
12.
【解析】由题意知向量 ，向量 ，
设向量 与向量 的夹角为 ，
则 ，
又 ，
，，
所以
所以向量 在向量 方向上的投影为 ．
13.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以
当 时取等号，
故 ，
故 的最小值为 ．
14. ，
【解析】以 为坐标原点，， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，建立平面直角坐标系（图略），
则 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即 的最大值为 ．
15.
【解析】根据题意，连接 ，，如图所示．
在等腰三角形 中，已知 ，，
则由向量的数量积运算可知 ．
线段 ， 的中点分别为点 ，，
则 ，
．
由平面向量的线性运算可得
，
所以
因为 ，代入化简可得 ．
因为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ．
第三部分
16. （1） 略
（2）
17. （1） 由题意得，
，，，
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，无解，
所以 的值为 或 ．
（2） 若四边形 是平行四边形，则 ，
设点 的坐标为 ，
即 ，
所以 即 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
18. （1） 由 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
（2） ，
当且仅当 时等号成立，
此时 与 的夹角 的余弦值 ，
又因为 ，
所以 ．
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