2.4 等比数列(word含答案解析)
文档属性
| 名称 | 2.4 等比数列(word含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 47.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-09 16:59:18 | ||
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文档简介
2.4 等比数列
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列数列为等比数列的是
① ，，，；② ，，，；③ ，，，；④ ，，，．
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
2. 在等比数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的公比 ，则 等于
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的公差和首项都不为 ，且 ，， 成等比数列，则
A. B. C. D.
6. 如图，给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 行第 列的数为 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 若等差数列 和等比数列 满足 ，，则
A. B. C. D.
8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，比如 ．根据以上定义，当 时，数列 ，，
A. 是等差数列，也是等比数列 B. 是等差数列，不是等比数列
C. 是等比数列，不是等差数列 D. 不是等差数列，也不是等比数列
9. 已知数列 满足 ，则“”是“ 为等比数列”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 等比数列 满足 ，，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 下列数列为等比数列的是 （填序号）．
① ，，；② ，，，，；③ ，，，，；④ ，，，，．
12. 在正项等比数列 中，若 ，，则 ； ．
13. 等比数列 中，，且 ，则 ．
14. 在等比数列 中，若 ，，则 ．
15. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的腰上再连接正方形，，如此下去将得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某“勾股树”含有 个正方形，且其中最大的正方形的边长为 ，则其中最小正方形的边长为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知数列 的首项 且 ．求证数列 是等比数列，并写出数列 的通项公式．
17. 已知数列 的前 项和为 ，，（ 且 ），数列 满足：，且 （ 且 ）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：数列 为等比数列．
18. 已知数列 的通项公式 ．
（1）求 ，；
（2）若 ， 分别是等比数列 的第 项和第 项，求数列 的通项公式．
答案
第一部分
1. C 【解析】由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当 时，不是等比数列．
2. C
3. C
4. C 【解析】．
5. B
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，， 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
6. C 【解析】第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ．
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
所以第 行构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
7. B 【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，，
所以
解得
因此
所以 ．
8. D 【解析】由于 ，所以 ，所以 ，即三个数为 ，，．而 ，，所以数列 ，， 既不是等差数列，也不是等比数列．
9. C 【解析】取 ，，，，满足 ，但 不是等比数列；反之若 为等比数列，则根据等比数列的性质可知 ，
所以“”是“ 为等比数列”的必要不充分条件．
10. B
【解析】因为 ，
因为 ，且 ，
所以 ，得 或 （负值舍去），
所以 ．
第二部分
11. ②
【解析】，所以①不是等比数列；
②是首项为 ，公比为 的等比数列；
③中，当 时，数列为 ，，，，，所以不是等比数列；
④显然不是等比数列．
12. ，
【解析】由题意可知 ，由题意可得 解得 所以 .
13.
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以在等比数列 中，，
解得 或 （舍去），
故 ．
14.
【解析】设等比数列 的公比为 ，
则
② ①得 ，即 ，
所以
15.
【解析】由题意，由下至上，各层正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数列，由下至上，第 层正方形的个数构成以 为首项， 为公比的等比数列．现已知共得到 个正方形，则有 ，
所以 ，
所以最小正方形的边长为 ．
第三部分
16. 因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ．
17. （1） 由 ，得 ，即 （ 且 ），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
因此 ．
（2） 因为 （ 且 ），
所以 （ 且 ），
所以
（ 且 ），
又 （ 且 ），
所以 （ 且 ）．
因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
18. （1） 因为 ，所以 ，．
（2） 由题意知：等比数列 中，，，
公比 ，
所以等比数列 的通项公式 ．
第1页（共1 页）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列数列为等比数列的是
① ，，，；② ，，，；③ ，，，；④ ，，，．
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
2. 在等比数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的公比 ，则 等于
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的公差和首项都不为 ，且 ，， 成等比数列，则
A. B. C. D.
6. 如图，给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 行第 列的数为 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 若等差数列 和等比数列 满足 ，，则
A. B. C. D.
8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，比如 ．根据以上定义，当 时，数列 ，，
A. 是等差数列，也是等比数列 B. 是等差数列，不是等比数列
C. 是等比数列，不是等差数列 D. 不是等差数列，也不是等比数列
9. 已知数列 满足 ，则“”是“ 为等比数列”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 等比数列 满足 ，，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 下列数列为等比数列的是 （填序号）．
① ，，；② ，，，，；③ ，，，，；④ ，，，，．
12. 在正项等比数列 中，若 ，，则 ； ．
13. 等比数列 中，，且 ，则 ．
14. 在等比数列 中，若 ，，则 ．
15. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的腰上再连接正方形，，如此下去将得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某“勾股树”含有 个正方形，且其中最大的正方形的边长为 ，则其中最小正方形的边长为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知数列 的首项 且 ．求证数列 是等比数列，并写出数列 的通项公式．
17. 已知数列 的前 项和为 ，，（ 且 ），数列 满足：，且 （ 且 ）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：数列 为等比数列．
18. 已知数列 的通项公式 ．
（1）求 ，；
（2）若 ， 分别是等比数列 的第 项和第 项，求数列 的通项公式．
答案
第一部分
1. C 【解析】由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当 时，不是等比数列．
2. C
3. C
4. C 【解析】．
5. B
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，， 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
6. C 【解析】第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ．
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
所以第 行构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
7. B 【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，，
所以
解得
因此
所以 ．
8. D 【解析】由于 ，所以 ，所以 ，即三个数为 ，，．而 ，，所以数列 ，， 既不是等差数列，也不是等比数列．
9. C 【解析】取 ，，，，满足 ，但 不是等比数列；反之若 为等比数列，则根据等比数列的性质可知 ，
所以“”是“ 为等比数列”的必要不充分条件．
10. B
【解析】因为 ，
因为 ，且 ，
所以 ，得 或 （负值舍去），
所以 ．
第二部分
11. ②
【解析】，所以①不是等比数列；
②是首项为 ，公比为 的等比数列；
③中，当 时，数列为 ，，，，，所以不是等比数列；
④显然不是等比数列．
12. ，
【解析】由题意可知 ，由题意可得 解得 所以 .
13.
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以在等比数列 中，，
解得 或 （舍去），
故 ．
14.
【解析】设等比数列 的公比为 ，
则
② ①得 ，即 ，
所以
15.
【解析】由题意，由下至上，各层正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数列，由下至上，第 层正方形的个数构成以 为首项， 为公比的等比数列．现已知共得到 个正方形，则有 ，
所以 ，
所以最小正方形的边长为 ．
第三部分
16. 因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ．
17. （1） 由 ，得 ，即 （ 且 ），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
因此 ．
（2） 因为 （ 且 ），
所以 （ 且 ），
所以
（ 且 ），
又 （ 且 ），
所以 （ 且 ）．
因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
18. （1） 因为 ，所以 ，．
（2） 由题意知：等比数列 中，，，
公比 ，
所以等比数列 的通项公式 ．
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