3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充）(word含答案解析)

3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 上定义运算 ，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
2. 已知 且 ，若 在 上恒成立，则
A. B. C. D.
3. 若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
4. 若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
5. 若不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 若两个正实数 ， 满足 ，且存在这样的 ， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 已知关于 的不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
9. 已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，又 ，使 成立，则 的最小值为
A. B. C. D.
10. 若 在 内恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 ．
12. 设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
13. 若“，”是真命题，则实数 的最大值是 ．
14. 若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的最大值为 ．
15. 不等式 对于任意的 ，存在 成立，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 定义在 上的函数 ，，，，．
（1）求 ；
（2）是否存在常数 ，，有
17. 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
18. 若 ，，数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ；是否存在实数 使得 对 恒成立，若存在，求实数 的取值范围，若不存在说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C 【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，
则 的零点 ，，．
当 时，则 ，，要使 ，
必有 ，且 ，即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ，，要使 ，必有 ．
综上一定有 ．
3. B 【解析】因为不等式 有解，所以 ，因为 ，，且 ，所以
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 ，故 ，解得 或 ．所以实数 的取值范围是 ．
4. B
5. A
【解析】由 知，方程 恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间 上有解的充要条件是 ，
即 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
6. C 【解析】当 时，不等式变为 ，成立；
当 时，不等式 恒成立，
则 即 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
7. C
8. A 【解析】当 时，不等式 化为 ，其对任意的 恒成立；
当 时，不等式 不能恒成立；
当 时，要使不等式 对任意的 恒成立，对于方程 ，需 ，解得 ．综上，实数 的取值范围是 ，故选A．
9. D
10. D
【解析】由 在 内恒成立，得 在 内恒成立，由分析可知 ．令 ，，作出两个函数的大致图象如图所示．
令 ，得 ，所以 ，则 ，所以要使 在 内恒成立，故实数 的取值范围是 ．
第二部分
11.
12.
【解析】函数 ，对任意 ， 恒成立，
即 ，即 在 恒成立，
当 时，，
由于 ，不满足题意；
当 时，，
由于 ，可得 ，解得 或 ，即 时成立．
则 的取值范围是 ．
13.
14.
【解析】根据题意知，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
15.
【解析】因为 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
即 恒成立，
由二次不等式的性质可得，，
又因为存在 使得上述不等式恒成立，
所以 ，解得 ．
第三部分
16. （1） ，
故 ．
（2） 不存在．，取 ，则 ，
当 时，，故不存在 ，使得对 ，．
17. 由 ，得 ．
又 ，所以 ．
结合函数 的图象（图略），当 时， 取得最大值 ．
所以当 时，函数 的最小值为 ，所以只需 即可．
故 的取值范围是 ．
18. 假设存在实数 ，使得 对一切正整数恒成立，
即 对一切正整数恒成立，只需满足 即可，
令 ，则 ，
当 ，；，，
故 ，，，，
当 时有最小值 ，
所以 ．
第1页（共1 页）