2.4圆周角 同步训练 2021-2022学年苏科版九年级数学上册(word版含解析）

2.4圆周角
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（　　）
A．52° B．26° C．38° D．104°
2．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
4．如图点B，C，D在⊙A上，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　）
A．68° B．78° C．88° D．98°
5．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝36°，则∠BOC的度数为（　　）
A．75° B．72° C．64° D．54°
6．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）
A．2 B．4 C． D．2
9．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　 　．
10．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于　 　．
11．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD为　 　．
12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则的度数是　 　度．
13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝　 　°．
14．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠B＝　 　．
15．已知△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝　 　°．
16．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为　 　．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
18．如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB于N，连接BM，则∠BMN的度数为　 　．
19．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
20．如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．
（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
参考答案
1．解：∵∠ACB＝52°，
∴由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝104°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝38°，
故选：C．
2．解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，
∴∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，
故选：C．
3．解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，
∴CD为⊙O的直径，
由相交弦定理得，PA PB＝PC PD，即2PD＝16，
解得，PD＝8，
∴CD＝10，
故选：D．
4．解：∵∠BDC＝∠BAC＝×44°＝22°，
∴∠CBD＝2∠BDC＝2×22°＝44°，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CAD＝2×44°＝88°．
故选：C．
5．解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°．
故选：B．
6．解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．
∵∠AOD＝∠BOE，
∴＝，
∴AD＝BE＝，
∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝1，
在Rt△ECF中，EC＝＝＝，
∵△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝＝．
故选：C．
7．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，
∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，
∴∠ADC＝∠FDB，
∴∠ADF＝∠CDB，
∴，
∴AF＝BC＝12，
∵∠DAF＝90°，
∴DF＝，
∴⊙O的半径为7.5．
故选：C．
8．解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2．
故选：D．
9．解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，
∴∠BAD＝＝＝40°，
又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°,
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
10．解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
11．解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°．
故答案为50°．
12．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°
∵AH＝AC＝，
∴OA＝2，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
13．解：（Ⅰ）∵AD＝AC，∠A＝50°，
∴∠C＝∠ADC＝65°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°
∵∠AOE＝2∠C＝130°，
∴∠CEO＝∠AOE﹣∠ADE＝130°﹣115°＝15°
（Ⅱ）∵AD＝AB，∠A＝50°
∴∠D＝∠B＝65°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠B＝65°，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠BEC＝180°﹣∠A＝130°
∴∠CEO＝∠CEB﹣∠OEB＝130°﹣65°＝65°
14．（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．
∵CA＝CB，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
（2）过点F作FG⊥AC于点G，
则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．
∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．
∵BE＝CE＝3，
∴AC＝BC＝2CE＝6，
∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．
∴CG＝2FG＝2AG．
∴FG＝AG＝2，
∴AF＝2．
15．解：∵如图，若A在优弧BC上时，∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°；
若点A在劣弧BC上时，∠BA′C＝180°﹣∠BAC＝130°．
∴∠BAC＝50°或130°．
故答案为：50或130．
16．解：∵C，D分别是AB，BP的中点
∴CD＝AP，
当AP为直径时，CD长最大，
∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，
∴AP＝4
∴CD长的最大值为2
故答案为2
17．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．
18．解：连接OM．
∵AB是直径，＝2，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∵＝，
∴∠MOB＝∠COM＝30°，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵OC∥MN，
∴∠MNB＝∠COB＝60°，
∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故答案为：45°．
19．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝31°，
∴∠CBD＝∠CAD＝31°；
（2）连接OD交BC于E，如图，
在Rt△ACB中，BC＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∴OE＝AC＝×2＝1，
∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，
在Rt△BDE中，BD＝＝2，
在Rt△ABD中，AD＝＝2．
21．解：（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2．
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴16﹣x2＝25﹣（5﹣x）2．
解得．
∴．
∴．
22．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．