2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 期末复习自主提升训练（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》
期末复习自主提升训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
5．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
7．如图，四边形ABCD内接于直径为4的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED＝，则弦AD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（　　）
A．28° B．64° C．56° D．124°
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB＝2DE，∠E＝14°，则弧AC的度数为 　 　°．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为　 　．
11．半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 　 　．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝20，弦CD与AB相交于点E，∠AEC＝30°，，则的值为　 　．
13．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥DE，AC＝3，则AE＝　 　．
14．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是　 　．
15．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）＝；
（2）AE＝CE．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
17．已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：．
18．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB＝60°，且F是的中点．求证：AB＝BF．
19．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD＝DE．
20．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD．求证：∠AMN＝∠CNM．
21．如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB∥CD，连接CO并延长交AB于F，连接DO并延长交AB于E两点，求证：AE＝BF．
22．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE＝∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
参考答案
1．解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：A．
2．解：如图，连接OD、OC．
∵（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×2cm＝10cm；
故选：B．
3．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
4．解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故的度数是150°．
故选：C．
5．解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝＝＝4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
6．解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
7．解：作OF⊥BC于点F，连接AO，则点F为BC的中点，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴点A、O、F三点共线，
∵AF⊥BC，DC⊥BC，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，
∴＝，
∵⊙O的直径为4，ED＝，
∴AO＝2，OE＝OD﹣ED＝2﹣＝，
∴＝，
解得CD＝，
∵点O为BD的中点，点F为BC的中点，
∴OF＝＝，
∴AF＝AO+OF＝2+＝，
∵BD＝4，CD＝，∠BCD＝90°，
∴BC＝＝，
∴BF＝，
∵∠AFB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∵BD＝4，∠BAD＝90°，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°．
故选：C．
9．解：如图，连接OC、OD，
∵AB＝2DE，
∴OD＝DE，
∴∠E＝∠EOD＝14°，
在△EDO中，∠ODC＝∠E+∠EOD＝28°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝28°，
在△CEO中，∠AOC＝∠E+∠OCD＝14°+28°＝42°，
∴弧AC的度数为42°．
故答案为：42°．
10．解：∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
11．解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝（cm），
∵cosA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120°．
12．解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，
∵AB＝20，
∴AO＝OB＝OD＝10，
∵OE：AE＝2：3，
∴OE＝4．AE＝6，
∵∠AEC＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝2；
∴DF＝＝4，
由垂径定理得：CD＝2DF＝8，
∴＝＝．
13．解：∵AB∥DE，
∴，
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴，
∴，
∴AE＝AC＝3；
故答案为：3．
14．解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，
连接ON，OM，
则OB垂直平分MM'，，
∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，
∵N是的中点，
∴，
∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，
∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，
∵AB＝8，
∴ON＝OM'＝4，
在等腰Rt△ONM'中，
NM'＝ON＝4，
∵MP＝M'P，
∴MP+NP＝M'N＝4，
故答案为：4．
15．证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
16．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
17．证明：连接OC，OD，则OC＝OD，
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MOC＝∠NOD，
∴．
18．解：连接OF，
∵AE，DB是⊙O的直径，∠AOB＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵F是的中点，
∴∠BOF＝∠EOF＝60°，
∴AB＝BF．
19．证明：连接OE，如图，
∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，
∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA，
∴∠BOD＝∠DOE，
∴BD＝DE．
20．证明：连接OM、ON，
∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB＝CD，
∴OM＝ON．
∴∠OMN＝∠ONM．
∵∠AMN＝90°﹣∠OMN，
∵∠CNM＝90°﹣∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM．
21．证明：过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠OFE，∠D＝∠OEF，
∴∠OFE＝∠OEF，
∴OE＝OF，
∵OH⊥AB，
∴EH＝FH，
∴AH﹣EH＝BH﹣FH，
∴AE＝BF．
22．证明：（1）连接OB，
则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，
∵AD⊥BC，
∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB），
＝90°﹣∠AOB＝90°﹣∠ACB＝∠DAC，
∵E是弧BC的中点，
∴∠EAB＝∠EAC，
∴∠EAO＝∠EAB﹣∠OAB＝∠EAC﹣∠DAC＝∠EAD．
（2）连接OE，
∵E是的中点，
∴弧BE＝弧EC，
∴OE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE∥AD，
∴∠OEA＝∠EAD，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠OAE＝∠EAD．