3.4圆周角与圆心角的关系 期末复习自主提升训练 2021-2022学年北师大版九年级数学下册(word版解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
期末复习自主提升训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
2．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　）
A．68° B．88° C．90° D．112°
3．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，连接AF，则∠BAF等于（　　）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
5．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB＝8，则tan∠CBD的值等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（　　）
A．130° B．100° C．65° D．50°
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．90°
9．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　 　．
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝　 　．
12．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝　 　°．
13．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，
∠E＝30°，则∠F＝　 　．
14．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则DC＝　 　．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是　 　．
17．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，sin∠P＝，求⊙O的直径．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝10，cos∠ABC＝，求tan∠DBC的值．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：∠1＝∠F．
（2）若sinB＝，EF＝2，求CD的长．
参考答案
1．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
2．解：如图，∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD＝2∠BDC，
∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝88°，
故选：B．
3．解：连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°，
故选：B．
4．解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，
解法二：连接BE，易得∠BED为70°，再由圆内接四边形互补可得∠BCD为110°．
故选：B．
5．解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠MAB＝∠CDB＝90°，∠M＝∠C；
∴∠MBA＝∠CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE＝AB＝4，OB＝5；
由勾股定理，得：OE＝3；
∴tan∠MBA＝＝；
因此tan∠CBD＝tan∠MBA＝，故选D．
6．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
7．解：∵∠CBE＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝＝65°，
故选：C．
8．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC＝∠ADC＝50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣50°＝40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴，
∴∠DBC＝2∠EAD＝80°．
故选：C．
9．解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
10．解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
11．解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．
故答案为：40°．
12．解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝35°，
∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．
故答案为：215．
13．解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠EBF＝∠A+∠E＝85°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，
∵∠BCD＝∠F+∠CBF，
∴∠F＝125°﹣85°＝40°．
故答案为40°．
14．解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，
∵AD＝6，
∴在Rt△ABD中，BD＝AD÷sin60°＝6÷＝4，
在Rt△BCD中，DC＝BD＝×4＝2．
故答案为：2．
15．解：连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝＝＝10．
∵AC＝6，
∴BC＝＝＝8．故答案为：8．
16．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF AF＝CF FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
17．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
18．（1）证明：∵∠C＝∠P
又∵∠1＝∠C
∴∠1＝∠P
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
又∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠P＝∠CAB，
又∵sin∠P＝，
∴sin∠CAB＝，
即＝，
又知，BC＝3，
∴AB＝5，
∴直径为5．
19．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，
∴＝，
∴AD＝CD；
（2）解：∵AB＝10，
∴OA＝OD＝AB＝5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE＝∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE＝OA cos∠AOE＝OA cos∠ABC＝5×＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
∴AE＝＝＝4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE＝＝＝，
∵∠DBC＝∠DAE，
∴tan∠DBC＝．
20．解：（1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F；
（2）∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝2，
∴AB＝2AE＝4，
在Rt△ABC中，AC＝AB sinB＝4，
∴BC＝＝8，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
∵AC2+CD2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，即CD＝3．