3.8圆内接正多边形期末复习自主提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学下册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》
期末复习自主提升训练（附答案）
1．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．2
2．如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（　　）
A．45° B．54° C．60° D．72°
3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（　　）
A．40° B．36° C．32° D．30°
4．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（　　）
A．36° B．45° C．54° D．60°
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．75°
6．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
7．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
8．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1 B．45°， C．60°， D．120°，2
9．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（　　）
A．4π B．3π C．2π D．π
10．如图AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（　　）
A．六 B．八 C．十 D．十二
11．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
12．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
13．正六边形的边长为2a，则它的面积为（　　）
A．a2 B．a2 C．3a2 D．6a2
14．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．
A．6 B．7 C．8 D．9
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
16．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
17．（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　 　
18．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是　 　；图2中，∠APN的度数是　 　，图3中∠APN的度数是　 　．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）　 　．
19．如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD＝6cm，求⊙O的半径．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
22．如图，正五边形ABCDE中．
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN＝EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为　 　．
参考答案
1．解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：D．
2．解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O，
则∠AOB＝＝40°，∠COD＝2∠AOB＝80°，
∴∠ADB＝∠AOB＝20°，∠CBD＝∠COD＝40°，
∴∠1＝∠ADB+∠CBD＝20°+40°＝60°，
故选：C．
3．解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：B．
4．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
5．解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
6．解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝4，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故选：B．
7．解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12．
故选：D．
8．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．
9．解：如图，O为正六边形六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB
则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
即OH＝，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OH⊥AB，
∴sin∠OAH＝，
∴OA＝＝＝2，
∴它的外接圆的面积＝π 22＝4π，
故选：A．
10．解：连接OA，OB，OC．
由题意，∠AOB＝＝90°，∠BOC＝＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：D．
11．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
12．解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
13．解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2a，
∴OG＝2a×＝a，
∴S△OAB＝×AB×OG＝×2a×a＝a2，
∴S六边形＝6S△OAB＝6×a2＝6a2．
故选：D．
14．解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故排成圆环还需7个五边形．
故选：B．
15．解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
16．（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，DE＝DE，
∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL），
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
17．解：（1）在△ABM与△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，…
正n边形中∠AQN＝．
故答案为：90°，108°，120°，．
18．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
19．解：连接OA、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC＝×360°＝120°，∠AOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD＝CD＝×6＝6，
即⊙O的半径为6cm．
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
21．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
22．（1）证明：如图1中，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠BAE＝108°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，
∴∠CBE＝72°，
∴∠DCB+∠CBE＝180°，
∴CD∥BE，
同法可证，AC∥DE，
∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD＝DE，
∴四边形PEDC是菱形；
（2）证明：如图2中，连接AN．
∵∠MCA＝∠MAC＝72°，
∴MC＝MA，
∵BC＝BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC＝NA，
∴∠NCA＝∠NAC＝∠CEP＝36°，
∵∠PAE＝∠NEA＝72°，
∴∠PEA＝∠NAE＝36°，
∵AE＝EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴AN＝PE，
∴CN＝PE．
（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW＝WE．设AW＝x．
∵∠A＝∠D＝∠AEW＝36°，
∴∠DWE＝∠DEW＝72°，
∴DW＝DE＝2，
∵∠A＝∠A，∠AEW＝∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2＝AW AD，
∴22＝x（x+2），
解得x＝﹣1，
∴AD＝2+x＝+1，
故答案为+1．