3.9弧长及扇形面积 期末复习自主提升训练 2021-2022学年北师大版九年级数学下册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.9弧长及扇形面积》
期末复习自主提升训练（附答案）
1．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
2．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
3．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（　　）
A．30 B．60 C．105 D．210
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
5．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（　　）
A． B． C．π﹣1 D．π﹣2
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2π D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣24
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝60°，以点B为圆心，线段BC为半径作弧CD交AB于点D，以点A为圆心，线段AD为半径作弧DE交AC于点E，则阴影部分面积为（　　）
A．4﹣π B．2﹣π C．4﹣2π D．
10．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　）
A． B． C． D．4π
11．一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　 　cm．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．
13．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为 　 　．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 　 　．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　 　．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　．
17．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　 　．（结果保留π）
18．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC．
（2）求证：△AFO≌△CEB．
（3）若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
21．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，
①求弦AB的长；
②求劣弧AB的长．
22．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：设弧所在圆的半径为rcm，
由题意得，＝2π×3×5，
解得，r＝40．
故选：B．
2．解：∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m），
故选：C．
3．解：由题意可求得圆形的周长C＝2π×6＝12π，
其中一个扇形的弧长L1＝5π，则另一个扇形的弧长L2＝12π﹣5π＝7π，
设另一个扇形的圆心角度数为n°，
根据弧长公式：L＝，有：
7π＝，解得n＝210，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣××2﹣
＝6﹣．
故选：A．
5．解：两扇形的面积和为：＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：××＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．
6．解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB sin60°＝2×＝，
∴阴影部分的面积＝＝．
故选：C．
7．解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
8．解：连接AD，OE
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
作OH⊥AE于H，
在Rt△AOH中，OA＝4，
∴OH＝sin30°×OA＝2，
AH＝cos30°×OA＝6，
∴AE＝2AH＝12，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．
故选：A．
9．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，BC＝AB＝2，AC＝＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BCD﹣S扇形ADE＝﹣﹣＝2﹣π，
故选：B．
10．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．
又OB＝5，
∴OD＝＝＝，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝＝，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，
∴四边形ODFE为正方形．
∴，
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝CE+EF＝3＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴所对的圆心角为90°，
∴＝＝．
故选：A．
11．解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
12．解：连接CE，
∵∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S扇形CBE＝＝π
∵S△BCE＝BC2＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
故答案为：π﹣．
13．解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，
∴∠ACB＝20°，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∵BE＝EF，
∴EF＝EC＝2，
∴∠EFC＝∠ACB＝20°，
∴∠BEF＝40°，
∴扇形BEF的面积＝＝，
故答案为：．
14．解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
15．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB cos60°＝PB＝1，PF＝PB sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
16．解：连接BE，
∵AB为直径，
∴BE⊥AC，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴BE＝AE＝CE，
∴S弓形AE＝S弓形BE，
∴图中阴影部分的面积＝S半圆﹣（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）
＝π×22﹣（﹣）﹣（﹣）
＝3π﹣6，
故答案为3π﹣6．
17．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OF⊥AC，
∴OF∥BC；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠BCD，
在△AFO和△CEB中，
∴△AFO≌△CEB（AAS）；
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF＝BC，
∵OF＝BE＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△AFO≌△CEB，
∴OA＝BC＝10cm，
∴CE＝＝＝5cm，
∴CD＝2CE＝10cm，
∵OB＝x+5，
∴OE＝OB﹣5＝10﹣5＝5cm，
∵cos∠COE＝＝＝，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是：＝cm2
△COD的面积是：CD OE＝＝25cm2
∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．
19．（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝；
②解：连接OE，
∵OD＝2、OB＝1，
∴BD＝，
则DE＝2BD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣×2×1＝π﹣．
20．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
21．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠BOD＝∠AOD＝×50°＝25°．
（2）①∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8；
②∵∠AOD的正弦值是＝＝0.8，
∴∠AOD＝53°，
∴∠AOB＝106°，
∵OA＝5，
∴的长＝＝＝．
22．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝