9.4 第5课时 正方形的性质与判定 同步练习 2021——2022学年苏科版八年级数学下册（word版含答案）

9.4 第5课时 正方形的性质与判定
一、选择题
1.(2021南京秦淮区月考)下列说法不正确的是 (　　)
A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.四条边都相等的四边形是正方形
D.两条对角线相等的菱形是正方形
2.(2021泰州)如图1,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方形APCD,正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP的度数为 (　　)
图1
A.2α
B.90°-α
C.45°+α
D.90°-α
3.如图2,在 ABCD中,E为BC边上的一点,以AE为边作正方形AEFG,若∠BAE=40°,∠CEF=15°,则∠D的度数是 (　　)
图2
A.65° 　
B.55° 　
C.70°
D.75°
4.如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 (　　)
图3
A.BC=AC B.BD=DF
C.AC=BF D.CF⊥BF
5如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,点F在DC的延长线上,连接AF交BC于点G,则∠FGC的度数为 (　　)
A.75° B.67.5° C.60° D.45°
6.如图所示,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是 (　　)
A.2 B.3 C. D.4
二、填空题
7.如图4,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=3,则此正方形的面积为　　　　.
图4
8如图5,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为　　　　.
图5
9.如图6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是　　　　.
图6
10如图7,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为　　　　.
图7
三、解答题
11.如图8,已知正方形ABCD,E,F分别为边BC,CD上的点,DE=AF.
(1)求证:△ADF≌△DCE;
(2)求证:AF⊥DE.
图8
12如图9,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠CAD=∠DBC.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)E是OB上一点,DH⊥CE,垂足为H,DH与OC相交于点F,求证:OE=OF.
图9
13.如图10,△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的邻补角∠ACD的平分线于点F,连接AF,AE.
(1)求证:OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 并说明理由;
(3)当点O在边AC上运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
图10
14.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△DBE,再把△ABC沿射线AB平移得到△FEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;
(2)连接CG,求证:四边形CBEG是正方形.
15如图11,Rt△CEF中,∠C=90°,△CEF的两外角的平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,垂足为B,D.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值;
(3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题:若锐角三角形PQR中,∠QPR=45°,一条高是PH,长度为6,QH=2,则HR=　　　　.
图11
答案
1.C　2.B　3.A　4.C　5.B 6.C
7.18　.
8.135°　
9.4　
10.10　
11.证明：(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.
在Rt△ADF与Rt△DCE中,
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
即△ADF≌△DCE.
(2)设AF与DE交于点G.
∵△ADF≌△DCE,
∴∠DAF=∠CDE,
∴∠DGF=∠DAF+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°,
∴AF⊥DE.
12.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,OA=OC,OB=OD,
∴∠CAD=∠ACB.
又∵∠CAD=∠DBC,∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC,∴AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OD=OC,
∴∠COB=∠DOC=90°,
∴∠ECO+∠DEH=90°.
∵DH⊥CE,
∴∠DHE=90°,∴∠EDH+∠DEH=90°,
∴∠ECO=∠EDH.
在△ECO和△FDO中,
∴△ECO≌△FDO(ASA),∴OE=OF.
13.解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的邻补角∠ACD的平分线于点F,
∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF.
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠ACE=∠OEC,∠ACF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由：∵O为AC的中点,∴AO=CO.
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ACB+∠ACD=180°,∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACD=90°,即∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点,且∠ACB=90°时,四边形AECF为正方形.
证明：由(2)可得点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵∠ACB=90°,∴∠ACE=45°.
∵四边形AECF是矩形,
∴EO=CO,
∴∠OEC=∠ACE=45°,
∴∠MOC=90°,∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
14解:(1)DE⊥FG.理由如下:
由题意,得∠A=∠GFE,∠ACB=∠DEB.
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠GFE+∠DEB=90°,
∴∠FHE=90°,即DE⊥FG.
(2)证明:由题意得BC=BE,CB∥GE,CB=GE,
∴四边形CBEG是平行四边形.
∵∠ABC=∠FEG=90°,
∴平行四边形CBEG是矩形.
∵BC=BE,
∴矩形CBEG是正方形.
15解：(1)证明：过点A作AG⊥EF于点G,如图所示.
则∠AGE=∠AGF=90°.
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
∴∠B=∠D=90°=∠C,
∴四边形ABCD是矩形.
∵△CEF的两外角的平分线交于点A,
∴AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=6.
在Rt△ABE和Rt△AGE中,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴BE=EG.
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF(HL),
∴DF=GF,∴BE+DF=GE+GF=EF.
设BE=x,DF=y,则CE=BC-BE=6-x,CF=CD-DF=6-y,EF=x+y.
在Rt△CEF中,由勾股定理,得(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,
整理,得xy+6(x+y)=36,
∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36=36+36=72.
(3)如图②所示,把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ,MR交于点G.
由(1)(2)得：四边形PMGD是正方形,MR=HR,DQ=HQ=2,MR+DQ=QR,
MG=DG=MP=PH=6,
∴GQ=4.
设MR=HR=a,则GR=6-a,QR=a+2.
在Rt△GQR中,由勾股定理,得(6-a)2+42=(2+a)2,
解得a=3,即HR=3.