《展开与折叠》（教案）人教版 数学五年级下册

在操作、想象中培养学生的空间观念
-----《展开与折叠》教学实践与思考
【教学内容】人教版小学数学五年级下册第3单元第23页相关内容拓展。
【教学目标】
1.通过展开与折叠等探索活动，掌握找正方体相对面的方法，理解正方体展开图的特征。
2.在实际操作活动中感受立体图形和平面图形之间的相互转化及对应关系，加深对正方体的认识。
3.通过观察、操作、想象等活动，帮助学生积累数学活动经验，提升空间想象能力，发展其数学思维和空间观念。
【教学重难点】探究正方体展开图的特征，培养学生的空间观念。
【课前思考】
学生在学习本课之前，已经直观认识了长、正方体，学习了长方形、正方形等平面图形的周长与面积计算，在这个基础上又进一步认识了长、正方体的特征，但对立体图形与平面图形之间的关系还不能有机地联系起来。因此，在教学中要通过操作和想象，让学生亲身经历和充分体验立体图形与平面图形之间的相互转化过程，建立展开图中的面与正方体的面的对应关系。在备课时，我设计了三个活动贯穿全课：剪---折---找，在教学环节的设计上引导学生经历动手操作---观察猜想---操作验证---发现规律----应用方法的过程，学生经过一系列的探究活动，不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动经验，活动中学会探索、学会学习，轻松地掌握了判断能否折成正方体的方法，并在获得成就感的同时极大地调动起自主学习研究的积极性。
本节课的教学难点和重点是培养学生的空间想象力，而突破这一难点必须建立在学生动手操作、大胆想象的基础上。设立了“从操作到想象”，再“由操作印证想象”的教学进程，使学生能够更好地理解相关数学知识的意义，切实发展学生的空间想像力。学生在动手操作中，探索展开与折叠的奥秘，认识了“面―体―面”的转换，独立思考、互相交流，形成了新的知识，改变了以往的传统教学方式，学生思维敏捷，熟练掌握了在展开图上找正方体相对面的方法，课堂上多次让学生想象，再动手验证，相信孩子们的空间想象能力会有一定的提升。
总之，本节课我力求体现课改的教学思想，抓住学生的认知规律，创造性地使用教材，目的在于拓宽学生的知识面，培养学生的空间想像力和动手操作能力，努力营造一个自由、和谐、平等的学习环境。
【教学过程】
课前谈话：
师：你喜欢什么样的数学课？
生纷纷表达自己心目中数学课的样子。
师小结：希望在今天的数学课堂上，同学们能亲自动手、积极思考、大胆想象，创造出一节自己心目中的数学课。最后，送给你们两句话：我能行，我真棒。
开始上课。
变——回忆旧知
师：刚才我们关注的是这六个字。再看这张卡片，老师把它拿下来，让它变一变，变成什么了？（正方体）正方体是什么图形？再变回来，又成了什么图形？
师：刚才变一变的过程，其实就是把正方体展开与折叠的过程。这节课我们就一起来研究展开与折叠。（板书课题）
师：先想一想，正方体有哪些特征？
生：有6个面，是完全相同的正方形，8个顶点，12条棱。
师：应该怎样把一个正方体纸盒展开？
生：剪
师：怎么剪？
生：沿着棱剪开。
师演示：沿着棱剪，把正方体纸盒变成一个平面，剪的时候要注意，每个面都要相连，不要剪掉了。
【评析：建构主义教学观认为，儿童的学习是在其已有的知识与经验的基础上自主建构的。在引入“展开与折叠”概念的过程中，教师借助学生生活中已有的“展开与折叠”经验，通过直观教具的演示，巧妙实现了由生活经验到数学概念的升华；通过引导学生回顾“正方体有哪些特征”，激活学生头脑深处已有的数学知识，为后续教学做好铺垫。】
二、剪——初步感悟
师：请组长拿出课前老师为你们准备的正方体纸盒，先商量商量要怎么剪，然后再开始。（贴出：剪）
师：剪好的小组回想一下：刚才你们是怎么展开的？
都完成了吗？
师：好，现在拿起你们的展开图，我们做个游戏。
把它还原成正方体，再展开。现在把展开图放下，闭上眼睛，用大脑想象，应该怎样把它折叠成正方体？展开之后又是什么样子的？
睁开眼睛，有点感觉了吗？把感觉先放在心里。
师：请各组快速地把展开图贴到黑板上。
师：仔细观察，这些展开图中有没有重复的？
谁上来整理一下？重复的保留一个就可以。
【评析：陆游有诗云“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。本环节通过让学生亲自动手“剪”，借助操作的过程体会“展开与折叠”的概念内涵。同时，学生在动手折叠、展开正方体图的过程中，潜意识地体会到立体图形与平面图形之间存在的内在联系，为接下来研究正方体展开图做好了铺垫。】
三、折叠——观察特点
1.猜想与实验。
师：同样的正方体纸盒，沿着不同的棱剪，得到了不同的形状。它们都是由几个小正方形连接而成的？（6个）
同学们知道吗？由6个完全相同且相连的正方形拼成的平面图形有35种，你们大胆猜想一下，它们是不是都可以折成正方体呢？ (出示下图)
生：不是
师：什么形状的可以折成？什么形状的又不能折成呢？
师：老师从这些图形中选了一部分，在学具袋里，咱们以小组为单位进行折叠研究 。（贴出：折）
先一起来看活动提示：
想：观察平面图，想象它能否折成正方体。
折：动手折叠，验证。
标：能折成标√，不能折成标×。
贴：找一组上台贴，能折成的放左边，不能放右边。其他小组继续补充。
看明白了吗？
请拿出图片，先想能不能折成，再动手验证，小组验证完后把展开图贴到黑板上。
小组实验，在黑板贴出展开图。
2.整理与分类。
师：我们先来观察这些能折成正方体的展开图，这些小正方形的排列有什么特点？你们能根据这些特点把它们分分类吗？
小组讨论并分类。
师：如果用数字给这一类起个名字，叫什么？对，141。
那么，这种叫什么？（与学生一起完成命名）
【评析：教师通过引导学生借助“猜想——验证”，解决了“什么形状的可以折成正方体？什么形状的不能折成正方体？”这一问题；通过分类，为探究出能折成正方体的平面图形特点打下了基础。这两个环节的教学，意在引导学生掌握基本的数学思想方法，积累基本的数学活动经验。】
四、找——探究规律
1.探究141型展开图的规律。
（1）想象、验证。
师：先来看能折成的这些展开图。能折成正方体的展开图中，141型最多，我们重点研究它。
同学们看，141型的展开图有什么规律？你发现了什么？
师小结：只要是141型，都可以折回正方体。
师：接下来想象一下，如果以这个面为底面，应该怎样折回正方体？（可以用手势表示）
想好了吗？怎样验证和你想的是否一样？
生：动手折。
师：折一折，是个好办法。我们一起来验证。和你想的一样吗？
如果以这个面为底 ，可以折回正方体吗？以这个呢？
你又有什么发现？
（2）强化规律。
师：（拿起正方体纸盒），看这个正方体纸盒，很容易看出哪几个面相对，有几组相对的面；如果只看展开图，你能想象出哪两个面是相对的吗？
发挥你的想象力，先在大脑中还原这个正方体，再想一想：哪两个面是相对的？找出3组相对的面。
指名将相对的面做上相同的标记。（如下图）
师：再把它折回去，验证一下。观察这个展开图，想一想相对的面在位置上有什么特点？
生：中间隔一个。
师指：两个相对的面，中间隔着一个面。
2.找其他类型展开图规律。
（1）发现231型的规律:
141型的有点简单，敢不敢挑战个难点的？选个231型的，老师把它的6个面编上序号，请同学们利用间隔一个面的方法，想一想哪两个数字是相对的？（找生回答）
课件动态演示：
（2）实践验证:
师：你们想不想也试一试啊，请组长给每位同学发一个正方体的展开图，先想象，如果折回正方体，哪两个面相对的，并做上标记，然后亲自动手折一折，验证是否正确。
标对的请把小正方体举起来，有标错的吗？有错误也不要紧，仔细观察你折的正方体，展开后再重新标一定可以标对。
3.研究不能折成的情况，发现规律。
刚才我们研究了能折成的，现在一起来看不能折成的，又有哪些有趣的现象呢？试着找一找它们的相对面。
你发现了什么？
师：我们发现，如果折回正方体，这些图形相邻的面太多了，找不到3组相对的面。
总结：其实，找不到3组相对面的图形还有以下几种：田、凹字和7字的，都不能折成正方体。（课件）
师：通过集体研究，我们很快找到了能不能折成正方体的方法，我们一起来试一试。考考你的眼力！
4.方法应用。
快速回答出能不能折成正方体，并说明为什么。
师呈现结果：同学们知道吗？拼成的35种不同平面图形，能折成正方体的只有11种。
简单介绍11种展开图。一四一型有6种，二三一型3种，三三和二二二各一种。黑板上只呈现了其中一部分。
【评析：本环节教师引导学生通过观察、想象、操作、归纳、应用的学习方法，实现了错综复杂的知识的抽象与概括；在整个师生交往互动的过程中，学生不仅掌握了教学目标所要求的知识技能，还掌握了探究未知知识的数学方法、数学思想，积累了丰富的数学活动经验。】
五、玩——解决问题
师：咱们知道了正方体展开图有11种形式，课前老师做的卡片是正方体展开图的哪一种？
咱把它请到在屏幕上。六个字中，“我”和“棒”是可以移动的，（演示），除了这种形状，怎么样移动这两个字还可以得到正方体的展开图？
一生操作，全班判断。并找出相对面。
【评析：艾宾浩斯的遗忘曲线是心理学上的重要发现，对于教育教学具有针对性的指导作用。具体而言，就是在新知识教授完毕后，要有一定的巩固练习，作为新知的教学的延续。本环节中，教师采用动态的练习方式，化静为动，让学生在好奇、有趣、动态中，实现了知识的内化与建构。】
六、理——拓展延伸
师：玩得开心吗？这节课我们一起研究了正方体的展开与折叠问题。它是由立体到平面图形互相转换的过程。这节课通过三个活动：剪---折---找，我们进行了充分的想象。做到了由体想到面，由面想到体。真是了不起！！
同学们知道，正方体与长方体有什么关系？
因为正方体是特殊的长方体，那么长方体展开后有哪些形状？什么样的平面图可以折回长方体呢？有兴趣的同学可以利用这节课掌握的方法自己去研究。
【评析：知识不是孤立存在的，数学知识更甚。在小学数学知识，教师要有意识的培养学生认识到知识之间所存在的内在联系，树立知识相互之间具有客观联系的观念。在课尾，教师点明平面图形与立体图形间存在联系，以及让学生根据本课所学继续探究长方体展开图所隐藏的秘密，起到了画龙点睛，深化内涵的作用。】
总评：
皮亚杰认为，“智慧源自动作”。无论是旧版数学课程标准，还是新修订的2011版数学课程标准，都将动手操作作为数学教学的有效手段。具体而言，在本节课中，无论是课前谈话，还是规律归纳，无处不体现出动手操作的影子。但是，本课在体现动手操作的教学方法之外，还有以下两个鲜明的特点：
渗透数学思想。
《展开与折叠》从教学内容上看，是一节数学综合实践活动课。教学的目的在于体现数学的多彩美。为了让学生在欣赏数学变化无端的魅力同时，更为深刻的感受数学的本身的思维魅力，教师在教学过程中，有意识的渗透了数学思想方法。例如，“观察特点”环节中使用的猜想——验证方法，“找规律”环节中“分类思想”等等。由于有了数学思想的加入，数学课变得愈加丰满。
化静态为动态。
数学本身是抽象的，小学阶段的学生，其思维特点是以直观形象为主，抽象思维尚未发展成熟，因此，小学阶段的数学教学应该以直观展示为主，抽象思考为辅。为了便于观察“展开与折叠”过程中所出现的几十种平面展开图，教师一方面让学生通过动手剪，自己创造出正方体平面展开图，并亲手粘贴在黑板上；另一方面，制作了形象直观的多媒体课件，让学生可以直观观察。通过这两方面的设计，抽象的知识活跃起来、直观起来、立体起来，实现了静态知识动态化。
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