河南省南阳市唐河县友兰实高2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）

友兰实验高中2021-2022学年高二上学期期末考试
数学（理）
一．填空（每题5分共60分）
1.下列说法正确的是( )
（A）命题“若，则”的否命题为“若，则”；
（B）命题“”的否定是“”；
（C）命题“若，则”的逆否命题为真命题；
（D）“” 是“”的必要不充分条件.
2．函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3．在中,则边上的高为( )
A． B． C． D．
4．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（　)
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
5．设等差数列的前项和为,且,,则当取最小值时,的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
6执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
7椭圆上一点P到两焦点距离之积为m，则m取最大值时P点坐标为（ ）
A.(5,0) 或 (-5,0) B.( ，)或（，－)
C(0,3) 或(0,-3) D.( ，)或（－，）
8．若实数满足不等式组且的最大值为,则实数等于 ( )
A．-2 B．-1 C．2 D．1
9.已知等差数列的前项和为,则数列的前项和为（ ）
A． B． C. D．
10．在 ABC 中，①若 B 60 ，a 10,b 7 ，则该三角形有且仅有两解；
②若三角形的三边的比是 3∶5∶7，则此三角形的最大角为 120°；
③若 ABC 为锐角三角形，且三边长分别为 2,3，x，则 x 的取值范围是.
其中正确命题的个数是 ( )
A．3 B．1 C．2 D．0
11．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41 B．15 C．9 D．1
12．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二．（每题5分共20分）
13.已知样本7，8，9，，的平均数是8，标准差是，则 ．
14.若命题“ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围________
15.钝角三角形的三边为，其最大角不超过，则的取值范围是________
16.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为 ．
三．解答题（共70分）
17.（10分）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
19.(12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
20. （12分） 在中，角所对的边分别为，已知:.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
21 （12分） 若数列的首项为1，且.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求证：数列的前项和.
22.（12分）
设分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,当最大时,求直线的方程
高二期末数学试题（理）答案
一．选择：C D B A A B C D C C B A
二．填空
13. 60 14 . －1≤a≤3 16.
三．解答题
17.解：由得
∴，即 …………………………………3分
由得
∴，即 ………………………………………5分
∵是的必要不充分条件
∴是的必要不充分条件
∴ ………………………………………8分
∴，解得. ………10分
18． 解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）
（3，2）……………………………………………………3分
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P==....................................................................6分
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是.............................................................12分
19．（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．……………（4分）
（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．……………（5分）
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224 ……………（8分）
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，……………（10分）
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．……………（12分）
20.（1）在中，∵，∴整理可得：，
∴，∴，
∴，∴，可得：.…………………6分
（2）由（1），根据余弦定理可得：
，∴解得：，
∴，当且仅当时，，故的最大值为6. ……………12分
21.（1）由2得，
∴，，∴，，……………………………3分
∴是首项为公比为的等比数列…………………………………4分
（2）由（1）知，∴………………………6分
（3）∵
，
………………………………8分
∴
………………………………11分
∴.…………………………12分
22.（1）设坐标为,坐标为,则直线的方程为,即;又,
∴椭圆的方程为…………………………4分
（2）易知直线的斜率不为,可设直线的方程为,则圆心到直线的距离为, 所以,得,
∴.…………………………8分
∴ (当且仅当,即时,等号成立),
所以直线方程为或.…………………………12分