黑龙江省五校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学试卷
满分：120分 时间90分钟
单选题（每小题5分，共40分）
直线x+y-1=0的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D135°
若两条直线ax+2y-1=0与3x-6y-1=0相互垂直，则a的值为（ ）
-4 B.4 C.1 D.-1
已知等差数列{an}，a1=2，a3=5，则公差d等于（ ）
B. C.3 D.-3
双曲线x2-y2=1的焦点坐标是（ ）
（0，），（0，） B.（，0），（，0）
C.（0，-2），（0，2） D.（-2，0），（2，0）
5.双曲线的渐近线方程是（ ）
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=0
6.已知向量且与相互平行，则k的值为（ ）
A.-2 B. C. D.
7.数列的通项公式可能是=（ ）
如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，，则与向量相等的是（ ）
多选题（每小题5分，共20分）
9.下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
10.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
11.已知数列…则下列说法正确的是（ ）
A.此数列的通项公式是 B.是它的第23项
C.此数列的通项公式是 D.是它的第25项
12.已知M是椭圆C：上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A.椭圆的焦距为2 B.椭圆的离心率e=
C. D.△MF1F2的面积的最大值是4
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知P，A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有则t=
14.已知圆C：x2+y2-4x=0，则圆心坐标是
15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1直线与椭圆交与A，B两点，线段AB的长为5，若2=8，那么△ABF1的周长是
16.记Sn为等差数列{}的前n项和，若=
四、解答题（每小题10分，共40分）
17．如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.
18．已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，求数列的前n项和.
19．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知抛物线经过点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值.黑龙江省五校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学试卷 参考答案
单选题（每小题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B B A A D A ABC AD AB BD
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.【分析】
由倾斜角和斜率的定义即可判断答案.
【详解】
由直线的倾斜角与斜率的概念，可知A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确．
故选：ABC.
10.【分析】
根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.
【详解】
建立空间直角坐标系如图：
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，
取，可得.
因为，，
所以平面PAB，
所以平面平面PAB，
所以，
所以.
综上所述，B，C错，A,D正确.
11.
12.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.
14.
15.
16.
四、解答题（每小题10分，共40分）
17.
【分析】设线段的中点的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式和代入法求得线段中点的轨迹方程.
【详解】解设线段的中点的坐标为，点的坐标为，则
用代入法求得所求方程为.
【点睛】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.
18.（1） （2）
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出；
（2）求得，利用裂项相消法即可求得
（1）设等差数列的公差为，由，解得，
所以，故数列的通项公式，；
（2）由（1）可得，所以，
所以.
19.．（1）证明见解析 （2）
【分析】
（1）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，并应用坐标计算空间向量的数量积，即可证结论.
（2）求的方向向量，结合（1）中面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.
（1）以为原点，以，，为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
可得：，，，，，，，.
∴，，，
设为面的法向量，则，令得，
∴，即，
∴平面；
（2）
由（1）知：，为面的一个法向量，
设与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1），；（2）.
【分析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；
（2）设出点坐标，根据切线长相等以及切线垂直于半径将四边形的面积表示为，然后根据三角形面积公式将其表示为，根据点到点的距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出四边形面积的最小值.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，即；
（2）设，因为为圆的切线，所以，且，
所以，
又因为，
所以，
当时，四边形的面积有最小值且最小值为.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于根据圆的切线的性质将四边形面积转化为三角形的面积，再通过三角形的面积公式将其转化为二次函数求最值的问题模型，对于转化的技巧要求较高.
