甘肃省靖远县2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）

靖远县2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：人教A版必修5，选修2-1．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若x，y满足约束条件则的最大值为（ ）
A．16 B．14 C．4 D．-1
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在正项等比数列中，是和的等差中项，则的公比（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．P，Q的大小关系不确定
7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M是的中点，，，，
若，则（ ）
A． B． C． D．
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
11．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢．”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里．良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇．下列结论不正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530里 B．3天后，两马之间的距离为328.5里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马 D．8天后，两马之间的距离为390里
12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点．下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．四边形面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则
D．若，则四棱锥的体积为
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知，，则______．
14．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为______．
15．已知正数a，b，c满足，且，则的最小值为______．
16．如图，，分别是双曲线C：的左、右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）已知双曲线E：的焦距为6，实轴长为2，求E的渐近线方程；
（2）已知F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，求C的方程．
18．（12分）
已知p：函数的最大值大于3；q：关于x的方程有解．
（1）若为真，求实数a的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数a的取值范围．
19．（12分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求C的大小；
（2）若，求的值．
20．（12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；．
（2）求数列的前n项和．
21．（12分）
如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把折起，得到如图2所示的四棱锥．
（1）证明：平面．
（2）若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小.
22．（12分）
已知椭圆C：的焦距为，点在C上
（1）求C的方程；
（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线：上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程．
高二数学试卷参考答案（理科）
1．C 特称命题的否定为全称命题．
2．D 抛物线的标准形式为，故其焦点坐标为．
3．B 画出可行域（图略）知，当直线经过点时，取得最大值，且最大值为14．
4．A 因为，所以，则．
5．C 因为是和的等差中项，所以，解得或（舍去）．
6．A ，所以．
7．B 因为，所以，所以，则，即或，则或．故选B．
8．A 由题可知，则，即，解得．
9．C 以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）．不妨令，则，，，，，．因为，所以，则，，，，则解得，，，故．
10．D 由，得因为，，，所以，故的面积．
11．C 设良马第n天行走的路程里数为，驽马第n天行走的路程里数为，则，．良马这9天共行走了里路程，驽马这9天共行走了里路程，故长安与齐国两地相距里，A正确．3天后，良马行走了里路程，驽马共行走了里路程，故它们之间的距离为328.5里，B正确．良马前6天共行走了里里，故良马行走6天还未到达齐国，C不正确．良马前7天共行走了里里，则良马从第7天开始返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由，知8天后，两马之间的距离为390里，D正确．
12．B 因为与不垂直，所以与平面不垂直，A不正确．如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．因为，所以．因为平面，所以，则，．若平面，则，即，，；若平面，则，即，，．因为，所以四边形的面积．
当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确．若四边形的面积为，则或，解得或，C不正确．
13．5 因为，，所以．
14． 设C的标准方程为．则解得所以C的标准方程为．
15．2 因为，，
所以，当且仅当时，等号成立．
16． 因为以为直径的圆与C交于点B，所以，．设，
则，．因为A，B是C上的点，所以，则，．在中，，即，则，所以C的离心率为．
17．解：（1）因为，，所以，，则，
所以，E的渐近线方程为．
（2）由题可知
解得则C的方程为．
18．解：（1）若p为真，则，得．
若q为真，则，得．
若为真，则p，q均为真，
由得，即实数a的取值范围是．
（2）若为真，为假，则p，q一真一假．
当p真，q假时，由得；
当p假，q真时，由得．
故实数a的取值范围为．
19．解：（1）因为，所以．
由余弦定理知．
又，所以．
（2）因为，所以，
则，整理得．
由（1）知，所以，
即，
则或（舍去），故．
20．解：（1）当时，，解得．
当时，因为，所以．
两式相减得，即，
故是1为首项，为公比的等比数列，则．
（2）由（1）可知，，
所以，
则，
两式相减得
，
所以．
21．（1）证明：在中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，
则在图2中，．
又平面，平面，所以平面．
（2）解：取DE的中点M，连接，FM，则，，的大小即二面角的大小．
可设在平面BCED内的投影为N，连接．以N为坐标原点，射线NF为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，．
则，，，，
，，．
设平面的法向量，
则令，则，，即．
设平面的法向量，
则令，则，，即，
因为，所以平面与平面的夹角为．
22．解：（1）由题可知
解得，，故C的方程为．
（2）设，，，
当的斜率不存在时，则的方程为，
将代入，得．
因为，，成等差数列，所以，即，显然当时，方程恒成立．
当的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组整理得，
则，．
．
因为，，成等差数列，所以，
即恒成立．
则，解得．
综上所述，的方程为．