辽宁省渤海渤大附高2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

渤大附高2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）．
A． B． C． D．
3．下列计算正确的个数是（ ）．
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设函数，若，则实数a的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
5，已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）．
A．3 B． C．1 D．
6．化简以下各式：①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若函数在上有最大值，则实数a的值为（ ）．
A．1 B． C．1或 D．1或
8．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（ ）．
A．众数为8 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为
10．已知、为两个单位向量，下列四个命题中错误的是（ ）．
A．与相等 B．如果与平行，那么与相等
C． D．
11．设，，且，那么（ ）．
A．有最小值 B．有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
12．已知函数，，都有成立，且任取，，，以下结论中正确的是（ ）．
A． B．，
C． D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“，”的否定是______．
14．已知函数，且，则______．
15．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在2200名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测这2200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有______人．
16．设函数，，定义在R上的偶函数满足，当时，，则与的图象所有交点的横坐标之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知，，若P是S的充分不必要条件，求实数k的取值范围．
18．（12分）
已知二次函数的最大值为2，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数m的取值范围．
19．（12分）
如图，设矩形的周长为8cm，将沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值．
20．（12分）
设函数．
（1）证明：在区间上单调递增；
（2）若，使得，求实数m的取值范围．
21．（12分）
近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动．政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年5月份的某一天，某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x的频数分布表如下：
x的分组
超市家数
（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例；
（2）用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间和（单位：元/公斤）的超市中抽取5家超市，再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2家超市的均价都在区间内的概率？
22．（12分）
已知函数，．
（1）若函数只有一个零点，求实数a的值；
（2）若，对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．
渤大附高2021-2022学年高一上学期期末考试 数学试题
参考答案、提示及评分细则
1．D ，，∴．
2．B 由题意知，∴或．
3．C ①②正确；③错，应该等于．
4．B 由题意知，；
当时，有，解得，（不满足条件，舍去）；
当时，有，解得（不满足条件，舍去）或．
所以实数a的值是：．
5．C 由函数为幂函数知，，解得或．
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，∴，．
6．D 四个向量化简后均为．
7．A ∵函数在上有最大值，∴，，
∴，解得或（舍去）．
8．B 画出函数的图象如图所示，
由题意知，当时，；当时，．令，则原方程化为．
∵方程有8个相异实根，∴关于t的方程在上有两个不等实根．
令，，∴，解得．
9．BD ，∴，∴此组数据众数为7，极差为，中位数为7，
方差为．
10．ABC
11．AD ∵，，∴，当时取等号，
∴，解得，∴，∴有最小值．
∵，当时取等号，∴，
∴，∴，解得，即，
∴有最小值为．
12．AB 由函数满足，则函数的图像关于直线对称，又，，，则函数在为减函数，对于选项A，因为，所以，即A正确；对于选项B，由已知有在为增函数，在为减函数，即，即B正确；对于选项C，，
又在为减函数，所以，即C错误；对于选项D，当，则，则或，即D错误，即结论正确的是AB．
13．， 命题的否定是，．
14．11
15．616 ．
16．4 由题知，函数的图象关于直线对称；由函数满足知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数与的图象如图所示：
设图中四个交点的横坐标为，，，，由图可知，．
∴与的图象所有交点的横坐标之和为4．
17．解：，∵P是S的充分不必要条件，∴，，
∴，，即k的取值范围为．
18．解：（1）∵二次函数的最大值为2，且，∴对称轴方程为，
设，∵，∴，∴．
（2）要使在区间上不单调，则，解得，故实数m的取值范围为．
19．解：由题意，矩形的周长为8cm，且，∴，则，∴，又由，
在中，，解得，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，∴面积的最大值为，此时．
20．（1）证明：，设，
则，
∵，∴，，，∴，∴，
∴在区间上单调递增．
（2）解：设，，
使得等价于，，即，
设，，则，由（1）可知，在上单调递增，
∴当，即时，y取得最小值为，∴，∴实数m的取值范围为．
21．解：（1）根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市频率为；零售均价小于50元/公斤的超市频率为；
用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例为6％，零售均价小于50元/公斤的超市比例为33％．
（2）由题知，抽取的5家超市中，有三家均价在区间，即为a，b，c，有两家均价在区间，即为A，B，则从中任取两家，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共有10种，其中均价都在区间内有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为．
22．解：（1）由，得，整理得．
当时，可得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
结合函数图象，令，解得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
结合函数图象，函数在上只有一个零点，
综上所述，a的值为或．
（2）由题知函数．
任取，则．
∵，，∴，
∴，∴，，
∴函数在上单调递减，∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
∴，
整理得对任意恒成立，令，
∵，∴函数在区间上单调递增，∴，即，解得，
故实数a的取值范围为．