省级联测2021—2022第五次考试
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B C B B C A CD AD BC BD
1.C 解析:根据题意,A= x x>2 ,∴ UA= x 1[命题意图]该题主要考查集合的运算,补集,考查数学运算能力.
2.B 解析:根据题意,若ab≥1,则a2+b2≥2ab≥2,必要性成立,因为a2+b2≥2,不能得到ab≥1,充分性
不成立,故选B.
[命题意图]该题主要考查不等式与充要条件,对学生的逻辑能力进行考查.
3.B 解析:根据题意,A 1,f 1 在直线y=2x-1上,可得f 1 =2×1-1=1,f' 1 =2,所以f 1 +
f' 1 =3,故选B.
[命题意图]该题主要考查导数的几何意义与应用,切线问题.
4.C 解析:根据题意,小明得分的分布列为
ξ 0 5 10 15
1 5 1 1
p 6 12 3 12
1 5 1 1 20
所以小明答完这3道题的得分期望为0×6+5×12+10×3+15×
,故选
12=3 C.
[命题意图]该题主要考查随机事件的分布列与期望.
5.B 解析:注意到1+3+5+…+(2n-1)=n2,而442=1936<2021,452=2025>2021,故选B.
[命题意图]该题主要考查数列的基本规律,数列的求和.
6.B 解析:
4
根据题意可得,该旋转体为一个圆柱去掉一个内切球,所以该旋转体的体积V=π×12×2-3×
π×13
2
= π,故选3 B.
[命题意图]该题主要考查空间几何体,旋转体的体积问题,实际问题的建模.
2 2
7.C 解析:①利用基本不等式可得: ≤ = xy,正确;1 1 ② a
2+b2 c2+d2 =a2c2+a2d2+
1
x+y 2 xy
b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2= ac+bd 2,不 正 确;③3x+y= x+1 + 2x+y -1,则
2x+ 2 x+1
x+1 + 2x+
1 2 y
y x+1+2x+ =3+x+1+ 2x+ ≥3+22,所以3x+y≥2+22,故选C.y y
[命题意图]该题主要考查基本不等式的综合应用.
8.A 解 析:根 据 题 意,tanx ·f'(x)>f x tanx ·f'(x)-f x >0,变 换 可 得:
· sin2x
tanx f'(x) f x - tanx >0 tanx f'(x) f x cosx- sinx >0 f x ,分 析 可 得,cosx sinx '>0
π , , x x∈ 0 2 cosx>0, f x , π, ,sinx '>0x∈ 2 π cosx<0, f x sinx '<0,所以函数g(x)=f 在sinx
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π π πf ,π 6
f 4 f 3 23
0 上单调递增,所以2 π< π<
,即2 π π ππ f < 2f < f ,故选A. 3
sin sin 6 4 36 4 sin3
[命题意图]该题主要考查三角函数导数的综合应用.
a+1>0
9.CD 解析:∵复数 a+1 i2021+(1-a)i2020=(1-a)+ a+1 i在第二象限,所以 a>1,故选1-a<0
CD.
[命题意图]该题主要考查复数的周期性,复平面上复数的位置.
10.AD 解析:函数y=3cos π2x+ 可变换为6 y=3sin 2π π2x+ ,又因为3 y=3sin 2 x+3 y=
3sin π π 5π2x+3 y=3sin 2 π x+6 ,所以可以向左平移 ,也可以向右平移 ,故选6 6 AD.
[命题意图]该题主要考查三角函数的图象与变换.
11.BC 解析:根据题意:抛物线C:x2=8y 的焦点为 0,2 ,直线y=kx+2过抛物线C:x2=8y 的焦点,所
1 1 2 1 |MF|=6 |MF|=3
以|MN|=9 |MF|+|FN|=9,|MF|+|FN|= = 或 ,MF→2 =λFN→ λ=p |FN|=3 |FN|=6
MF→ 1
→ = 或 ,故选FN 2
2 BC.
[命题意图]该题主要考查直线与抛物线的综合应用,有关抛物线的焦点弦的性质.
12.BD 解析:根据题意:因为点O 是△ABC 的外心,所以AO→·AB→=4×2=8,AO→·A→C=6×3=18,对于
3
选项A,若cosA= ,利用余弦定理可得:BC24 =AB
2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=16 BC=4,所以
BC 2 8 64π
△ABC 的外接圆的半径R 为 = = ,所以该外接圆的面积为 ,故A不对;对于选项B、C,2sinA 7 7 7
4
, , AB
2+AC2-BC2 1 π
当BC=27时 根据余弦定理可得 cos∠BAC= 2×AB×AC =2 ∠BAC=
,AO→=xAB→3 +
→ AO
→·AB→=xAB→2+yA→C·AB→ 2=4x+3y 1 4
yAC → → x= ,y= ,可得选项B正确,选项C不正确;AO·AC=xA→C·AB→+yA→C2 3=2x+6y 6 9
1 4 π 1 4 1 16
对于选项D,当x= ,y= 时,可得 ,→ → → →2 →2 →26 9 ∠BAC=3 AO=6AB+9AC AO =36AB +81AC +
4
AB→·A→
28
C= ,所以 AO→
2 21
27 3 =
,故D正确3 .
[命题意图]该题主要考查三角形中外心,有关向量综合问题.
4 3=2λ 4
13. 解析:由题意,3 a=λb m=2=λm 3.
[命题意图]该题主要考查向量中共线问题.
x2 2 x2 2
14.6-
y
3=1
解析:根据题意,双曲线C:y2- =1渐近线方程为2 y=±
,所以要求的双曲线方程为
2x
2 2 2
y2
x
- =λ,
x
又过点 23,3 ,代入方程可得λ=-3,因此双曲线方程为2 6-
y
3=1.
[命题意图]该题主要考查利用双曲线的性质求方程.
15.16 30 解析:根据题意:令x=0,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=-2,a0-a1+a2-a3+a4
-a5+a6=-32,
所以,a0+a2+a4+a6=16.x5+ x+2 6=a0+a 6 51 x+1 +…+a6 x+1 x+1-1 +
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x+1+1 6=a0+a1 x+1 +…+a6 x+1 6,
所以a3=C2 -1 2+C35 613=10+20=30.令x=-1,a0=0,所以a0+a3=30.
[命题意图]该题主要考查多项式展开,二项式展开.
16.52π 解析:由题意可得:如图所示,三角形ABD 的外心为BD 的中点M,等边三角形BCD 的外心为N,
分别过点M、N 做平面ABD 和平面BCD 的垂线,交点为该图形的外接球的球心O,根据分析 MN =
3,∠OMN=30°,可得ON=1,又CN=23,所以R= 13,所以S=4πR2=52π.
[命题意图]该题主要考查几何体外接球问题.
17.解:(1)根据题意,Sn=2an-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式作差可得:an=2an-2an-1 an=
2an-1(n≥2), ………………………………………………………………………………………… (1分)
可得数列 an 为等比数列,令n=1时,S1=2a1-1 a1=1,……………………………………… (2分)
所以 an 的通项公式为an=1×2n-1=2n-1. ……………………………………………………… (3分)
因为bn+bn+2=2bn+1,
13-5
所以 bn 为等差数列.因为b3=5,b7=13,所以公差d= =2.…… ( 分)7-3 4
故bn=5+2 n-3 =2n-1.………………………………………………………………………… (5分)
n-1
(2) ()
bn 2n-1
由 1 可知 = n-1 = 2n-1 1 ,……………………………………………………… (6分)an 2 2
b b b 0 1 2 n-1
T = 1+ 2n a +
…+ n=1× 1 +3× 1 +5× 1 +…+ 2n-1 1 , …………… (7分)
1 a2 an 2 2 2 2
1 1 1 2 3 n
2Tn=1× 2 +3× 1 +5× 1 +…2 2 + 2n-1 12 .…………………………………… (8分)
1 1 0 1 1 1 2 1 n-1 1 n作差可得:
2Tn=1× 2 +2× 2 +2× 2 +…+2 2 - 2n-1 ,………… (2 9分)
n-1
计算可得:Tn=6- 2n+3 1 .……………………………………………………………… ( 分)2 10
(注:不化简若正确得满分)
[命题意图]该题主要考查求解数列的通项公式,差比数列求和的错位相减法.
18.解:(1)补充的2×2列联表如下表:
男性 女性 总计
薪资 10 16 26
……………………………………………………………… (2分)
职位 10 4 14
总计 20 20 40
2 40 10×4-16×10
2
∴K = ≈3.956>3.841,……………………………………………………… (4分)26×14×20×20
∴有95%以上的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.……………………… (5分)
3 3 2(2)根据题意,小张通过应聘的概率为
4 +C1 13 4 3 1 1 27 ………………… ( 分)4 × × 2 2=128. 12
3 3 2(注:得出 得2分,得出 14 C3 14 34 得2分)
[命题意图]该题主要考查统计案例中概率问题与独立性检验问题.
19.解:(1)因为 3asinB+bcosA-2b=0,
由正弦定理可得 3·sinAsinB+sinBcosA-2sinB=0,
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3sinA+cosA=2, ………………………………………………………………………………… (2分)
2sin πA+6 =2,sin πA+ =1,…………………………………………………………………… ( 分)6 4
: π π π可得 A+6=2 A= .
…………………………………………………………………………… (5分)3
(2)
a b c 23
由正弦定理知:
sinA=
,………………………………………………… ( 分)
sinB=sinC= =4 63
2
b=4sinB,c=4sinC,………………………………………………………………………………… (7分)
∴b-c=4 sinB-sinC =4 1 3 π2sinB-2cosB =4sin B- ,……………………………… (8分)3
π0因为 故 2π π 6 2
10
0< ,
3
-B<2
所以4sin πB- , , ……………………………………………………………………… ( 分)3 ∈ -22 11
故b-c的取值范围为(-2,2).……………………………………………………………………… (12分)
[命题意图]该题主要考查解三角形问题,正,余弦定理.
20.解:()
1
1 根据题意,分析等腰梯形ABCD,因为AD∥BC,AD= BC=2,CD= 10,2
可得AE=DE= 2,BE=CE=22,
所以,AE2+DE2=AD2,EC2+PE2=PC2,所以AC⊥BD,AC⊥PE,…………………………… (3分)
又BD∩PE=E,BD、PE 平面PBD,所以AC⊥平面PBD,…………………………………… (4分)
又AC 平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.…………………………………………………… (5分)
(2)因为PB=PC,EB=EC,取BC 的中点M,连接PM,EM,
所以BC⊥PM,BC⊥EM,
可得:BC⊥平面PEM,所以PE⊥BC,
又PE⊥AC,所以PE⊥平面ABCD,AC⊥BD,…………………………………………………… (6分)
因此,分别以EB,EC,EP 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,A(0,- 2,0),B(22,0,0),
C(0,22,0),D(- 2,0,0),P(0,0,22), ………………………………………………………… (7分)
设平面PBD 的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PCD 的法向量为n2=(x2,y2,z2),
根据分析,平面PBD 的法向量可以为n →1=AC= 0,32,0 , …………………………………… (8分)
P→C=(0,22,-22),PD→=(- 2,0,-22),
22y2-22z2=0 y2=z2
所以 ,令z2=1,可得n2=(-2,1,1), ……………………… (10分)- 2x2-22z2=0 x2=-2z2
, n1
·n2 32 6
所以 二面角B-PD-C 的余弦值cosθ= · = = . …………………… (n n 6 12
分)
1 2 32× 6
[命题意图]该题主要考查立体几何中面面垂直,二面角.
2b2
21.解:(1)根据题意,c= 3, =1,……………………………………………………………………… (2分)a
a2=b2+c2,计算可得:a=2,b=1,…………………………………………………………………… (3分)
2
所以椭圆P 的标准方程为y +x24 =1.
……………………………………………………………… (4分)
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( x
2
2)由题意可知椭圆Q 的方程为 +y24 =1
,
当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为:y=kx+m,A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ,
x2+y2=1,
联立 4 可得: 1+4k2 x2+8kmx+4m2-4=0,
y=kx+m,
Δ=16 4k2-m2+1 >0,
8km
x1+x =- ,则 2 1+4k2 ………………………………………………………………………… (6分)
4m2-4
xx = ,
1 2 1+4k2
x1+x2+x3=0,
又坐标原点为△ABC 的重心,所以 ……………………………………………… (7分)y1+y2+y3=0,
8km 8kmx1+x2=- ,
2 x3= ,1+4k 1+4k2
由 可知 …………… (8分)
2m 2m
y1+y2=kx1+m+kx2+m=k x1+x2 +2m= ,1+4k2 y3
=- ,
1+4k2
8km 2 2m 2
将 x3,y3 代入椭圆方程可得: 2 +4 - =4,化简可得:4m2=1+4k2, ……… (9分)1+4k 1+4k2
: m , 1· 2·4 4k
2-m2+1 m 3
又O 到直线AB 的距离为 d= 则S
2 △OAB
=2 1+k
· = ,…
1+k 1+4k
2
1+k2 2
……………………………………………………………………………………………………… (10分)
33
易知原点O 为△ABC 的重心,所以S△ABC=3·S△OAB= ,当直线AB 斜率不存在时,根据坐标关系2
可得: 1 33S△ABC=3S△ABO=3×2× 3×1= .
……………………………………………………… (11分)2
33
综上所述,△ABC 的面积为 .…………………………………………………………………… (12分)2
[命题意图]该题主要考查直线与椭圆综合性问题.
22.解:(1)因为f x =emx+x2-mx+t,则f' x =memx+2x-m, ……………………………… (1分)
所以f' 0 =0,故切线方程为y=t+1,所以t+1=1,∴t=0.故f x =emx+x2-mx.……… (2分)
若m≥0,则当x∈ -∞,0 时,emx-1≤0,f' x <0;当x∈ 0,+∞ 时,emx-1≥0,f' x >0.
若m<0,则当x∈ -∞,0 时,emx-1>0,f' x <0;当x∈ 0,+∞ 时,emx-1<0,f' x >0.
所以f x 在 -∞,0 上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增.……………………………………… (5分)
(2)设g x =e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,所以g' x =2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-
2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2), …………………………………………………………… (7分)
①当b≤2时,g' x ≥0,当且仅当x=0时等号成立,所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0,所以对x
>0时,g x >0.……………………………………………………………………………………… (9分)
②当b>2时,若x 满足2因此0综上,b的取值范围为(-∞,2]. …………………………………………………………………… (12分)
[命题意图]该题主要考查函数导数的几何意义,函数导数与不等式的综合应用.
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绝密★启用前
7.已知①若x>0,y>0
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②若a>0,b>0,c>0,d>0,则(a2+b2)(c2+d2)≤(ac+bd)
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③若x>0
则3x+y的最小值为2+22
上面不等式中正确的个数为
班级
姓名
A.0
D.3
注意事项
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上
8已知函数(x)为函数f(x)的导函数满足tmx:f(x)>f(),a=6f(5),b
回答选择題时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本
5f(2)=2八(否),则下面大小关系正确的是
卷上无效。
Ba3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
9.在复平面中,已知复数(a+1)i201+(1-a)￥2对应的点在第二象限,则实数a的可能取值为
题目要求的
1.已知集合A={xy=log2(x-2)},U={xx>1},则A
B.(1,2)
C.(1,2]
D.[1,2)
10将函数y=3in(2x+3)的图象变换为函数y=302+)的图象,则所做的变换可以是
2.已知a,b∈R,p:a2+b2≥2,g:ab≥1,则p是q的
B.向右平移
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
A.向左平移言
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C∴.向右平移
D.向右平移
3.函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程是y=2x-1,则f(1)+f(1)
B
已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,直线y=kx+2与抛物线C交于M,N两点,且MF
4.小明参加某项测试,该测试一共3道试题,每道试题做对得5分,做错得0分,没有中间分,小
AFN,MN|=9,则A的取值可以为
答对第1,2题的概率都是1,答对第3题的概率是,则小明答完这3道题的得分期望为
B
C.2
12.已知点O是△ABC的外心,AB=4,AC=6,AO=xAB-yAC,则下列正确的是
A.若cosA=4,则△ABC的外接圆面积为
5.数列1,
2333·3·3·4,…的第2021项为
B.若BC=2√7,则3y-2x=1
,则2x+3y=2
6.阿基米德(公元前287年一公元前212年),百科式科学家、数学家,和高斯、牛顿并列为世界
2√21
大数学家.阿基米德曾说过:“给我一个支点,我就能撬起整个地球.”阿基米德在做数学研究
时,|AO
时,有一个有趣的问题:一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆,现以过该内切圆的圆心
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第15题第一空2分,第二空3分
且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体,则该旋转体的体积为
13.已知向量a=(3,2),b=(2,m),若两个向量共线,则
14.过点(2、③,③)且渐近线与双曲线C:y2-y=1的渐近线相同的双曲线方程为
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