湖南省益阳市名校2022届高三上学期12月第四次联考数学试题（Word版含答案）

益阳市名校2022届高三上学期12月第四次联考
数学试卷
考试内容 选填题：集合与逻辑、不等式、函数及导数、三角函数、平面向量与复数、数列、立体几何；
解答题：高考模式
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4*.等比数列满足，则的值为（ ）
A.200 B.100 C.20 D.10
5.益阳市“一园两中心”项目是益阳市委市政府推进“大益阳城市圈”建设、实现益阳“东接东进”战略作出的重大决策.“两中心”是指益阳市文化中心、益阳市政务中心.其中图书馆是益阳市文化中心的重要场馆之一，市政府决定在图书馆顶上安装太阳能板发电，要测量顶部的面积，将图书馆看成一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面是边长为24m的正方形，且高为10m，当正四棱锥的顶点P在阳光的照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时（此时光线正好经过长方体的顶点），正四棱锥顶点的影子Q到长方体下底面中心O的距离为m，则图书馆顶部的面积为（ ）
A.576 B.624 C.688 D.728
6.如图，已知M，N为函数，（，）图象的最高点和最低点，A，B为图象与x轴的交点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7*.已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）的表面积为，则其底面边长为（ ）
A.18 B.12 C. D.
8.设定义在R上的奇函数，，都有，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.在中，“”是“”的充分不必要条件
C.“若，则方程有实根”的否命题为真
D.若，，且，则
10.已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数在上单调递减
C.对，都有
D.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
11.已知数列的前n项和，则下列结论成立的有（ ）
A.若，，成等比数列，则
B.数列的前n项和为，则数列为单调递增数列
C.若，则n的最小值为6
D.若，则的最小值为
12.如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A.平面平面
B.与的夹角为定值
C.三棱锥体积最大值为
D.点F的轨迹的长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在处的切线与平行，则________.
14.已知定义在R上的奇函数，对任意x都有，当时，，则_______.
15.已知平面四边形中，，，，，，则_______.
16.甲、乙两人相约打靶，每人有8次机会，分别用数列和来统计其结果.若甲第n局中靶，则，若甲第n局未中，则；若乙第n局中靶，则，若乙第n局未中，则.已知，，则_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，点D在边上，，的长为，求面积.
18.（12分）
已知数列的前n项和为，且2，，成等差数列.且数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前n项和.
19.（12分）
已知多面体中，四边形是正方形，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.
20.（12分）
某单位招聘工作人员，报考人员需参加笔试和面试，笔试通过后才能参加面试。已知某市2021年共有10000人参加笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为120分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 10 30 35 15 5
（1）假定笔试成绩不低于100分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于108.4的人数.（结果四舍五入精确到个位）
（3）考生甲已通过笔试，他在面试中要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得2分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得3分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望.
（参考数据：；若，则，，.）
21.（12分）
已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，P为椭圆C上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数有两个极值点，.
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：；
（3）若，求的最大值.
数学答案
一、选择题
1—8 A C A B B D B D
9-12 BD AC ABD ABD
二、填空题
13.2 14.1 15. 16.22
三、解答题
17.（10分）
解：（1）在中，由正弦定理可得，
即.
且，∴，即.
故.
（2）∵，∴
∴
即，解得（舍）或.
∴.
18.（12分）
解：（1）∵2，，成等差数列，∴①
当时，，
当时，②
由①-②可得，，即数列是首项为2，公比为2的等比数列
故.
（2）由（1）可知，，∴
当时，，
当时，，
∴
，
当时符合，故.
19.（12分）
（1）证明：连接与交于点O，因为为正方形，故，
又平面，故，由，
故平面，
取的中点M，连接，注意到为的中位线，
故，且，
因此，且，
故为平行四边形，即，
因此平面，而平面，
故平面平面.
（2）以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，
而，
由与平面所成角为30°，得，
即，解得；
则，，
设平面的一个法向量为，
则，得
令，则，，故.
设平面的一个法向量，
则，得，
令，则，，故.
所以，
注意到二面角为钝二面角，
故二面角的余弦值为.
20.（12分）
（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共20人，其中成绩优秀5人.
∴.
（2）有表格数据知，
，
又，∴
∴.
由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于108.4分的人数为人.
（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7.
，，
，，
，，
Y的分布列为：
Y 0 2 3 4 5 7
P
.
21.（12分）
解：（1）由已知可得，，且，
∴解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时，不妨设，，
联立得，
∴，
∴
∴，解得.
当直线l斜率不存在时，易知符合题意.
∴综上，存在定点，使得为定值
22.（12分）
解：（1）函数的定义域为
函数有两个极值点、，即方程有两个解、
所以方程有两个实数根、
设，即两个不同的正实根.
，且，得a的取值范围是.
（2）由（1）知，不妨设时，函数在和上递增，在上递减，
∵，可得，
由（1）可知，故只要证即可.
设，则，
由，得，由，得，
函数在上递增，在上递减，则，
所以成立，则得证.
（3）根据韦达定理，
∴
∴
∵∴令，设，其中
所以，函数在区间上单调递减，当时，，
则的最大值是.