湖南省大联考2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（Word版含答案解析）

湖南省大联考2021-2022学年高二上学期12月月考
数学
（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在等差数列中，，，则（ ）
A.2 B. C.3 D.
4.若直线与直线平行，则实数m的取值为（ ）
A.1或－1 B.－1 C.1 D.0
5.若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
6.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
7.在正方体中，点O为线段的中点.设点P在线段（P不与B重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二、选择题：共4道小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于点对称
C.在区间单调递增
D.图象上各点的横坐标变为原来的两倍后，再向左平移长度单位后，可得到的图象
10.以下四个命题表述正确的是（ ）
A.直线（）必过定点
B.圆（）上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，则
C.曲线与曲线恰有三条公切线
D.已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线，，A，B为切点，四边形面积的最小值为
11.1921年伟大的中国共产党成立，经过28年的浴血奋战，于1949年成立了中华人民共和国，从此，中国人民站起来了.到2021年，习总书记在庆祝中国共产党成立100年大会上庄严宣告：我们实现了第一个百年奋斗目标，正向着全面建成社会主义现代化强国的第二个奋斗目标迈进.现有一个等差数列，其公差d与各项均为正整数，，，，下列说法正确的是（ ）
A.d的最小值为4 B.m，n满足关系式
C.的最小值为34 D.满足条件的m，n有且仅有4组
12.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点（A在第一象限），交抛物线C的准线于点D，若，，则以下结论正确的是（ ）
A. B.直线l的倾斜角为
C. D.以为直径的圆与抛物线C的准线相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.点关于直线的对称点的坐标为________.
14.已知矩形中，，，，，E，F为垂足.将矩形沿对角线折起，得到二面角，若二面角的大小为60°，则________.
15.已知圆（O为坐标原点），直线与圆O相交于A，B，则的最大值为________.
16.数列满足，，（），，则数列前n项和为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若P为圆C上任意一点，定点，点Q满足，求点Q的轨迹方程.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19.（本小题满分12分）
已知函数（）.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，D为边上一点，，且________，求的面积.（从①为的平分线，②D为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
20.（本小题满分12分）
如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点E是棱上的点，平面，点F在棱上，.
（1）直线与所成的角的正切值：
（2）若，证明：；
（3）问为多少时，平面平面？
21.（本小题满分12分）
已知数列中，，（），为数列的前n项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）在，之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，其离心率为.A为椭圆的左顶点，P为椭圆上的动点（不与椭圆的左右顶点重合）.已知的面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，N为的中点，直线交直线于点D，直线，交于点H.
（i）求；
（ii）证明：.
高二数学参考答案
1.【答案】A
【解析】，，，故知A正确.
2.【答案】D
【解析】A中在上无定义；B中在递减；C中为奇函数.
3．【答案】C
【解析】由，，成等差数列得，，故选C
4．【答案】A
【解析】由两直线平行，有，，时，合题意，故选A
5．【答案】B
【解析】由椭圆的定义知，，故选B
6．【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为，故选C.
7．【答案】B
【解析】以D为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立坐标系.设，则平面的法向量为，，，
则，
当且仅当时取等号.故选B
8．【答案】D
【解析】由知，为等腰三角形，，由双曲线的定义知，，设，，，，做，M为垂足，则，∴∴，，故选D.
9．【答案】ABD
【解析】A.的最小正周期为，A错；
B：由，得，B错；
C：由，得单调递增为，C正确；
D：图象的图像上各点的横坐标变为原来的两倍后，得到的图象，再向左平移个单位长度后得到，故D错误.
10．【答案】BD
【解析】A.直线过定点，A错；
B.圆心O到直线l的距离为1，故圆上有且仅有4个点到直线l的距离为1，则，故B正确；
C.圆，，的圆心为，，半径，，，两圆相离，故有4条公切线，C错；
D.当垂直直线时，四边形面积最小.
此时，，，，故D正确.
11.【答案】BC
【解析】由题意得，所以，时，，同理可求得，，故A错误；
化简可得，故B正确；
由，，所以的最小值为34，C正确;
满足条件的t=1，2，4，因此满足条件的m，n有且仅有3组，D错.
12.【答案】ABD
【解析】过A，B作准线的垂线，垂足为，.由抛物线定义知，所以在中，知，故直线l的倾斜角为，，，，因此A，B正确，C错误；
D：过中点E作准线的垂线（为垂足），
由梯形的中位线可知，
所以以为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确.
13.【答案】
【解析】设对称点故点关于直线的对称点的坐标为
14.【答案】5
【解析】因为，所以
，
所以，即.
15.【答案】 2
【解析】直线过点，故弦的取值范围为，又
所以的最大值为 2
16.【答案】
【解析】由，有，且，所以是首项为 5，公比为2的等比数列，故，的前n项和为
17．【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题可知，的中点为，，
所以的中垂线方程为，它与x轴的交点为圆心，
又半径，
所以圆C的方程为：
（2）设点，，由得
∴，∴，又点P在圆C上，故
所以，化简得点Q的轨迹方程为
18．【答案】（1）；
（2）【第（2）问如果是书写的其它形式，可酌情给分】
【解析】（1）设公差为d，由已知得，
解得，，
∴.
（2）∵
∴
.
19.【答案】（1）最小正周期
（2）选①，②.
【解析】（1）
所以的最小正周期为
（2）
∴∵
∴
∴，
选择条件①为的平分线，
因为为的平分线，所以，
又因为，
所以，即，
又根据余弦定理得：，即，
则有，即，解之得或（舍），
所以.
选择②D为的中点，则，，
则有，可得，
又根据余弦定理得：，解得，
则.
20.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）因为平面，所以，，又，
所以以D为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
则，，，，
，又平面的一个法向量为，
因为平面，所以，，∴E为中点，
取中点，连接，，则，所以为与所成的角，
在，，
所以与所成的角的正切值为.
（Ⅱ）在梯形中，，，
所以，，
又因为平面，所以，
且，所以平面，平面，
所以，又因为
所以平面，平面，所以
（Ⅲ）因为，所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，则，
设平面的一个法向量为，，
则，取，则，则
因为平面平面，所以，
所以当时.平面平面
21.【答案】（1）（2）（3）不存在.
【注意：第（2）问如果化简成其它形式，可酌情给分，阅卷时需特别注意】
【解析】（1）当时，，所以；
又，所以对，有，
故数列为等比数列，通项公式为
（2）由（1）知，
①
②
① ②得：
∴
（3）在数列不存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.理由如下：
由已知得
假设在数列中存在，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，
即，
化简得，
又因为m，k，p成等差数列，所以，故上式可以化简为，
则，与已知矛盾.
故在数列不存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列
22.解：（1）设椭圆的半焦距为c.
由题可知∴，
所以椭圆C的方程为
（2）由（1）知，设直线的方程为，的中点，.将直线的方程代入椭圆的方程，整理得
，，
所以
所以，，
即点，直线的方程为，
令，得
又直线，所以的方程为，令，得
（i）
（ii）（方法一）由（i）知，又有，所以.
延长，，分别交，于M，Q，则，
，又，所以
（方法二）.如计算可得
∴
（方法三）可以用两角和与差的正切公式进行运算.
【注意：第（2）问如果是其它方法做对，可酌情给分.】