2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数 内容提要 解读与例析（3） （word含答案解析）

【沪教版2020】必修 第一册 章节 知识点 内容提要 解读与例析
【学生版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》内容提要解读与例析
【内容提要】第五章内容提要（见教材102页）
1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；
2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
3、指数函数（，）的定义域是全体实数；
4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
5、对数函数的定义域是正数全体.
6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
【例析要点】
1. 函数的概念：
1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；
例1、已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。
【提示】
【解析】
【说明】
2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例2、（1）幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
（2）23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
【提示】
【解析】
【说明】比较幂值大小的方法：
（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
（2）若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小。　　
3、指数函数（，）的定义域是全体实数；
例3、（1）函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)
（2）函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例4、（1）已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是_______
（2）比较下列各题中两个值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；
5、对数函数的定义域是正数全体.
例5、（1）函数的定义域为
（2）函数y＝log(5－x)(2x－3)的定义域为(　　)
A． B． C．(4,5) D．∪(4,5)
6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例6、（1）已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是___________.
（2）函数的单调减区间是
【教师版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》内容提要解读与例析
【内容提要】第五章内容提要（见教材102页）
1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；
2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
3、指数函数（，）的定义域是全体实数；
4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
5、对数函数的定义域是正数全体.
6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
【例析要点】
1. 函数的概念：
1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；
例1、已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。
【提示】注意：理解幂函数的定义；
【解析】因为，为幂函数，
所以，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}；
【说明】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1；
2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例2、（1）幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
（2）23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
【提示】注意：理解幂函数定义域的“交集”；
【解析】（1）当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
（2）23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，
所以23.1＜23.2；
（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，
因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2；
【说明】比较幂值大小的方法：
（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
（2）若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小。　　
3、指数函数（，）的定义域是全体实数；
例3、（1）函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)
（2）函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【提示】注意：函数起点是定义域；
【答案】（1）A；（2）；
【解析】（1）因为，4－2x≥0，所以，2x≤4，所以，x≤2，则f(x)的定义域是(－∞，2]，故选A．
（2）因为，2x－1＞－1，且2x－1≠0，所以，＜－1，或＞0，故选B；
【说明】对于y＝af(x)这类函数：
（1）定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围；
（2）值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域；
4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例4、（1）已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是_______
（2）比较下列各题中两个值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；
【提示】注意：理解指数函数的单调性；
【答案】（1）；（2）①1.82.2＜1.83；②0.7－0.3＜0.7－0.4；③1.90.4＞0.92.4；
【解析】（1）因为函数在是严格增函数，
所以，解得或，因此实数的取值范围是.
故答案为：.
（2）①因为，1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
因为，1.8＞1，所以，y＝1.8x在R上为增函数，则1.82.2＜1.83；
②因为，y＝0.7x在R上为减函数，又因为，－0.3＞－0.4，则0.7－0.3＜0.7－0.4；
③因为，1.90.4＞1.90＝1,0.92.4＜0.90＝1，所以，1.90.4＞0.92.4；
【说明】比较幂值大小的方法：
（1）单调法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图象和性质来判断；
（2）中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值1进行比较，判断指数幂和1的大小；
5、对数函数的定义域是正数全体.
例5、（1）函数的定义域为
（2）函数y＝log(5－x)(2x－3)的定义域为(　　)
A． B． C．(4,5) D．∪(4,5)
【提示】注意：遇对数先保证有意义；
【答案】（1）[2，＋∞)；（2）D；
【解析】 (2018·江苏卷)要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)；
（2）由题意得解得【说明】对于对数的定义域问题；主要是：底数大于0且不等于1，真数大于0；
6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；
例6、（1）已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是___________.
（2）函数的单调减区间是
【提示】注意：先保证有意义；然后，分解成若干个初等函数解之；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在上是严格减函数，
故在为减函数，且恒成立，所以，故.故答案为：.
（2）函数的单调减区间，即，
在的条件下，函数的增区间；利用二次函数的性质可得，在的条件下，
函数的增区间为，故答案为：；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）