2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数 知识点解读与例析（1） （word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数 知识点解读与例析（1） （word含答案解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 09:14:41 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修 第一册 章节 知识点 内容提要解读与例析
【学生版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(1)
【本章目录】
4.1 幂函数
4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质；
知识点1、幂函数的定义
当指数 ，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数；
知识点2、描点法
列表----描点----连线；
知识点3、函数图像关于原点对称
在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数；
点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′( )；
知识点4、函数图像关于数轴对称
函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′( )；
函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P′( )；
知识点5、幂函数的严格增（减）性
在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数；
知识点6、幂函数图像通过定点： ；
知识点7、函数图像的平移变换
函数图像平移变换的规律：
y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图像；
y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图像；
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质（1）；4.2.2 指数函数的性质（2）
知识点8、指数函数的定义
当底数 ，且，时，等式 ，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数。
知识点9、指数函数的性质
（1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，；
知识点10、指数函数的单调性
（3）当时，指数函数在R上是严格增函数；
当时，指数函数在R上是严格减函数；
知识点11、指数函数的图像特征
a>1 0（1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于 轴，但永不相交；
（2）过定点
（3）由左至右图像 （4）由左至右图像
4.3 对数函数
4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）
知识点12、对数函数
当底数 ，且，时，以为底的对数 ，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；
知识点13、反函数
因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数；
知识点14、定理： 当，时， ；
知识点15、对数函数性质
（1）定义域为；（2）当时，；
（3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数；
知识点16、对数函数的图像特征
a>1 0（1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于 轴，但永不相交；
（2）过定点
（3）由左至右图像 （4）由左至右图像
【知识点 巩固练习】
4.1 幂函数
知识点1、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ________
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
【注意】1、把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
2、幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数；
形如，等的函数都不是幂函数；
【辨析】幂函数与指数函数的区别：例如：是幂函数，是指数函数；
知识点2、描点法
例2、作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；
【提示】
【解析】
【说明】
知识点3、函数图像关于原点对称
例3、已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上；
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围；
【提示】
【解析】
【说明】函数关于原点对称的推广：
证明：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数满足”。
【提示】可以借助于解析几何求解轨迹方程的“相关点法” 理解：
【证明】设是函数图象上任意一点，即则关于点对称的对称点是.
又函数的图像关于点成中心对称图形，
所以也在函数图象上，
，
所以即
故亦即
反之，同理可证，故待证结论成立；
【两个结论】
（1）若函数y＝f (x)对定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b，则函数y＝f (x)的图像关于点(a，b)中心对称；
（2）函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；
【教师版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(1)
【本章目录】
4.1 幂函数
4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质；
知识点1、幂函数的定义
当指数固定，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数；
知识点2、描点法
列表----描点----连线；
知识点3、函数图像关于原点对称
在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数；
点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(-a，-b)；
知识点4、函数图像关于数轴对称
函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′(-a， b)；
函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P′(a，-b)；
知识点5、幂函数的严格增（减）性
在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数；
知识点6、幂函数图像通过定点：；
知识点7、函数图像的平移变换
函数图像平移变换的规律：
y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图像；
y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图像；
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质（1）；4.2.2 指数函数的性质（2）
知识点8、指数函数的定义
当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数。
知识点9、指数函数的性质
（1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，；
知识点10、指数函数的单调性
（3）当时，指数函数在R上是严格增函数；
当时，指数函数在R上是严格减函数；
知识点11、指数函数的图像特征
a>1 0（1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交；
（2）过定点
（3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降
4.3 对数函数
4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）
知识点12、对数函数
当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；
知识点13、反函数
因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数；
知识点14、定理： 当，时，；
知识点15、对数函数性质
（1）定义域为；（2）当时，；
（3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数；
知识点16、对数函数的图像特征
a>1 0（1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交；
（2）过定点
（3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降
【知识点 巩固练习】
4.1 幂函数
知识点1、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ________
【提示】理解幂函数的定义与解析式；
【答案】；
【解析】由题意，设，因为，，得，即，则，，
即，故答案为；
【说明】本题属于利用待定系数法，求解析式；
【注意】1、把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
2、幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数；
形如，等的函数都不是幂函数；
【辨析】幂函数与指数函数的区别：例如：是幂函数，是指数函数；
知识点2、描点法
例2、作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；
【提示】注意：借助初等函数的“关键点”、“特殊点”画已知函数的图像；
【解析】（1）先作出的图像，保留图像中x≥0的部分，
再作出的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图像，如图①实线部分；
（2）将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②；
（3）因为，y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像；如图③；
【说明】1、描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出；2、图象变换法：若函数图像可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；
知识点3、函数图像关于原点对称
例3、已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上；
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围；
【提示】注意：两点的坐标之间的关系；理解函数解析式的实质；
【解析】（1）设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点；
因为，Q(－x，－y)在f(x)的图像上，所以，－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)(x<1)；
（2）f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m；设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可；
因为，F(x)在[0,1)上是增函数，所以，F(x)min＝F(0)＝0，则m≤0；
故m的取值范围为(－∞，0]；
【说明】函数关于原点对称的推广：
证明：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数满足”。
【提示】可以借助于解析几何求解轨迹方程的“相关点法” 理解：
【证明】设是函数图象上任意一点，即则关于点对称的对称点是.
又函数的图像关于点成中心对称图形，
所以也在函数图象上，
，
所以即
故亦即
反之，同理可证，故待证结论成立；
【两个结论】
（1）若函数y＝f (x)对定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b，则函数y＝f (x)的图像关于点(a，b)中心对称；
（2）函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）
【学生版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(1)
【本章目录】
4.1 幂函数
4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质；
知识点1、幂函数的定义
当指数 ，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数；
知识点2、描点法
列表----描点----连线；
知识点3、函数图像关于原点对称
在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数；
点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′( )；
知识点4、函数图像关于数轴对称
函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′( )；
函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P′( )；
知识点5、幂函数的严格增（减）性
在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数；
知识点6、幂函数图像通过定点： ；
知识点7、函数图像的平移变换
函数图像平移变换的规律：
y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图像；
y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图像；
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质（1）；4.2.2 指数函数的性质（2）
知识点8、指数函数的定义
当底数 ，且，时，等式 ，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数。
知识点9、指数函数的性质
（1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，；
知识点10、指数函数的单调性
（3）当时，指数函数在R上是严格增函数；
当时，指数函数在R上是严格减函数；
知识点11、指数函数的图像特征
a>1 0
（2）过定点
（3）由左至右图像 （4）由左至右图像
4.3 对数函数
4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）
知识点12、对数函数
当底数 ，且，时，以为底的对数 ，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；
知识点13、反函数
因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数；
知识点14、定理： 当，时， ；
知识点15、对数函数性质
（1）定义域为；（2）当时，；
（3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数；
知识点16、对数函数的图像特征
a>1 0
（2）过定点
（3）由左至右图像 （4）由左至右图像
【知识点 巩固练习】
4.1 幂函数
知识点1、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ________
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
【注意】1、把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
2、幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数；
形如，等的函数都不是幂函数；
【辨析】幂函数与指数函数的区别：例如：是幂函数，是指数函数；
知识点2、描点法
例2、作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；
【提示】
【解析】
【说明】
知识点3、函数图像关于原点对称
例3、已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上；
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围；
【提示】
【解析】
【说明】函数关于原点对称的推广：
证明：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数满足”。
【提示】可以借助于解析几何求解轨迹方程的“相关点法” 理解：
【证明】设是函数图象上任意一点，即则关于点对称的对称点是.
又函数的图像关于点成中心对称图形，
所以也在函数图象上，
，
所以即
故亦即
反之，同理可证，故待证结论成立；
【两个结论】
（1）若函数y＝f (x)对定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b，则函数y＝f (x)的图像关于点(a，b)中心对称；
（2）函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；
【教师版】
《第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(1)
【本章目录】
4.1 幂函数
4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质；
知识点1、幂函数的定义
当指数固定，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数；
知识点2、描点法
列表----描点----连线；
知识点3、函数图像关于原点对称
在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数；
点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(-a，-b)；
知识点4、函数图像关于数轴对称
函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′(-a， b)；
函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P′(a，-b)；
知识点5、幂函数的严格增（减）性
在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数；
知识点6、幂函数图像通过定点：；
知识点7、函数图像的平移变换
函数图像平移变换的规律：
y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图像；
y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图像；
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质（1）；4.2.2 指数函数的性质（2）
知识点8、指数函数的定义
当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数。
知识点9、指数函数的性质
（1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，；
知识点10、指数函数的单调性
（3）当时，指数函数在R上是严格增函数；
当时，指数函数在R上是严格减函数；
知识点11、指数函数的图像特征
a>1 0
（2）过定点
（3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降
4.3 对数函数
4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）
知识点12、对数函数
当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；
知识点13、反函数
因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数；
知识点14、定理： 当，时，；
知识点15、对数函数性质
（1）定义域为；（2）当时，；
（3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数；
知识点16、对数函数的图像特征
a>1 0
（2）过定点
（3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降
【知识点 巩固练习】
4.1 幂函数
知识点1、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ________
【提示】理解幂函数的定义与解析式；
【答案】；
【解析】由题意，设，因为，，得，即，则，，
即，故答案为；
【说明】本题属于利用待定系数法，求解析式；
【注意】1、把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
2、幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数；
形如，等的函数都不是幂函数；
【辨析】幂函数与指数函数的区别：例如：是幂函数，是指数函数；
知识点2、描点法
例2、作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；
【提示】注意：借助初等函数的“关键点”、“特殊点”画已知函数的图像；
【解析】（1）先作出的图像，保留图像中x≥0的部分，
再作出的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图像，如图①实线部分；
（2）将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②；
（3）因为，y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像；如图③；
【说明】1、描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出；2、图象变换法：若函数图像可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；
知识点3、函数图像关于原点对称
例3、已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上；
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围；
【提示】注意：两点的坐标之间的关系；理解函数解析式的实质；
【解析】（1）设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点；
因为，Q(－x，－y)在f(x)的图像上，所以，－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)(x<1)；
（2）f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m；设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可；
因为，F(x)在[0,1)上是增函数，所以，F(x)min＝F(0)＝0，则m≤0；
故m的取值范围为(－∞，0]；
【说明】函数关于原点对称的推广：
证明：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数满足”。
【提示】可以借助于解析几何求解轨迹方程的“相关点法” 理解：
【证明】设是函数图象上任意一点，即则关于点对称的对称点是.
又函数的图像关于点成中心对称图形，
所以也在函数图象上，
，
所以即
故亦即
反之，同理可证，故待证结论成立；
【两个结论】
（1）若函数y＝f (x)对定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b，则函数y＝f (x)的图像关于点(a，b)中心对称；
（2）函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；
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