湖南省A佳大联考2021-2022学年高二上学期入学考试数学试题(Word含答案)

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名称 湖南省A佳大联考2021-2022学年高二上学期入学考试数学试题(Word含答案)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2022-01-09 16:44:40

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文档简介

A佳湖南大联考·2021年秋季高二入学测试卷
数 学
(本试卷共4页,22题,全卷满分:150分,考试用时:120分钟)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,将本试题卷和答题卷一并上交。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,复数z满足,则z的模为( )
A. B. C. D.
2.设有直线m、n和平面α,β,下列命题中正确的命题是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,则
3.已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180、240、160.现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某福利院参加慈善活动,其中高一年级被抽取的人数为9,则n=( )
A.21 B.29 C.9 D.20
4.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为,弧长为的扇形,则该圆锥的体积等于( )
A. B. C. D.
5.已知A、B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,则( )
A.0.58 B.0.9 C.0.7 D.0.72
6.已知向量(1,2),(,),其中,若与垂直,则θ=( )
A. B. C. D.
7.某班有50名学生,在一次考试中统计出平均分为90分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得100分,却记成了70分,乙实得80分,却记了110分,更正后平均分和方差分别是( )
A.90,75 B.90,63 C.95,75 D.95,63
8.△ABC中,BD是AC边上的高,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知i是虚数单位,复数(z的共轭复数为),则下列说法中正确的是( )
A.的虚部为 B.
C.的实部为1 D.z在复平面内对应的点在第三象限
10.钝角△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=7,b=5,,则( )
A. B. C. D.
11.如图:正三棱锥P ABC的底面边长为3,侧棱长为,,则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥的外接球的表面积为 B.AB⊥PC
C.点E到面ABC的距离等于2 D.正三棱锥侧面积为
12.在△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,且BC=4,AD=1,则( )
A.△ABC面积的最大值为2 B.△ABC为锐角三角形
C. D.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,O'A'=1,O'B'=2,∠A'O'B'=45°,则△OAB的面积是 .
14.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别,,p,该同学站在这三个不同的位置各投篮一次,至少投中一次的概率为,则p的值为 .
15.若正四面体ABCD的棱长为2,E为CD的中点,则异面直线BE与AD所成角的余弦值等于 .
16.在△ABC中,E为AC上一点,,P为BE上任一点,,,(,),若,则当取最小值时,四边形ADPF的面积与△ABC的面积之比等于 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分.第17题10分,其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图:四边形ABCD是边长为4的菱形,∠ABC=,E为AO的中点,().
(1)求;
(2)求当取最小值时,的值.
18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量.该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下五组:[100,110),[110,120),
[120,130),[130,140),[140,150],得到相应的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求a的值,并估计该厂生产的口罩质量指标值的平均值和第60百分位数:
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取20个口罩,再从这20个口罩中质量指标值位于的口罩中随机抽取2个,其质量指标值分别为m、n,求事件“”的概率.
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角B;
(2)若,求的最大值.
20.如图,四棱锥P ABCD的底面为正方形,直线PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,G为PC的中点,AC与BD交于点M.若平面BDG平面PAD=m.
(1)求证:PA//m;
(2)求三棱锥M BCG的体积.
21.设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局.在一局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.比赛顺序比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束.
(1)求只进行了三局比赛,比赛就结束的概率:
(2)求甲获胜的概率.
22.如图,四棱锥P ABCD的底面为正方形,所有棱长都是2,E、F、G分别是棱PB、PD、BC的中点.
(1)求二面角B PC D的余弦值;
(2)求PB与平面EFG所成角的大小.
高二数学参考答案
1.【答案】A
【解析】由得:,
∴.
故选:A.
2.【答案】D
【解析】若,,则,平行或异面,故A错误;
若,,,则,平行或异面,故B错误;
若,,无法得出与交线垂直,故C错误;
若,,则,故D正确;
故选:D
3.【答案】B
【解析】

故选:B
4.【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为,底面半径为,
则,解得,又,解得,
所以圆锥的高为,所以圆锥的体积是
故选:C
5.【答案】A
故选:A
6.【答案】D
∵与垂直,∴,故选:D.
7.【答案】B
因甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不变,设更正后的方差为,由题意得,

而更正前有:

化简整理得.故选:B.
8.【答案】A
解:∵



由正弦定理可知,即
∴;故选A.
9.【答案】BD,
,所以,
对于A,的虚部为2,故A不正确;
对于B,,故B正确;
对于C,的实部为,故C不正确;
对于D,对应的点为在第三象限.故D正确.
故选:BD
10.【答案】ABD
因为,,故A正确
根据余弦定理:
∴或8,当是为锐角三角形
故,故C不正确。
再根据余弦定理得,∴B正确
故D正确
故选:ABD.
11.【答案】ABD
解:正三棱锥的底面三角形的高,
为的中心,,
三棱锥的高,设外接球的半径为
则,∴,∴,故A正确;
由于平面,∴,故B正确;
作,则面由于故,故C错误;
正三棱锥的斜高为,
正三棱锥侧面积为
故D正确.
故选ABD.
12.【答案】AD
解:由于,∴,故A正确
,∴为钝角三角形,故B不正确
∵∴
∴,∴
故C不正确
又,∴故D正确
13.【答案】2
由斜二测画法可知,可知,,且,因此,的面积为.
14.【答案】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件,,,至少投中一次的对立为事件发生,由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.
故至少投中一次的概率,
解得.
故答案为:
15.【答案】
取的中点,连接,则
故为所求.在中,,

16.【答案】
由题意可知:,
,,三点共线,则:,据此有:

当且仅当,时等号成立.取到最小值.此时
17.解:(1)由于四边形是边长为4的菱形
∴,∴在上的投影向量为

(2)如图当时,取到最小值,此时

18.【解析】(1)由直方图可知,,

该厂生产的口罩质量指标值的平均值为.
记第60百分位数为,则

故平均值为124和第60百分位数为126;
(2)质量指标值位于的口罩个数为个,
记为,,,,,质量指标值位于的口罩个数为个,记为,从这7个口罩中随机抽取2个的所有可能情况有:
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,共21种,
其中事件“”的所有可能情况有:、、、、、、、、、,共10种,
故事件“”的概率为.
19.【解析】(1)根据正弦定理,由得,
又因为,
所以,又因为,
所以,又因为,所以
(2)根据正弦定理
∴,

故其中()
又.当时,取最大值
20.【解析】(1)证明:连接
由已知得、分别为,的中点,
∴,
又平面,平面,
∴平面.
又面,面面

(2)∵面,为中点
∴到面的距离


21.【解析】(1)由题意只进行三局比赛,分为两种情况:1.第一局甲胜,第二局丙胜,第三局丙胜,2.第一局乙胜,第二局丙胜,第三局丙胜.即丙获胜比赛就结束,
故可得所求的概率为
(2)由题意甲获胜的情况有三种:1.甲连胜两局.2.第一局甲胜,第二局丙胜,第三局乙胜,第四局甲胜;3.第一局乙胜,第二局丙胜,第三局甲胜,第四局甲胜
故可得所求的概率为
22.【解析】(Ⅰ)取的中点,连接,,.
∵为边长为2的等边三角形,为中点

同理,∴为二面角的平面角.
在中,,
根据余弦定理得:
故二面角的余弦值是
(Ⅱ)设点到面的距离为.与平面所成角为.
由于
又由题意知为正四棱锥,故面

又,,,面,
∴面,面

又,
∴故

∴∴与平面所成角为.
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