四川省成都市蓉城高中教育联盟2021-2022学年高一上学期期末数学试卷
（答案与解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求.
1．（5分）75°用弧度制表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据角度与弧度的相互转化公式即可求解．
【解答】解：75°＝75×＝．
故选：C．
2．（5分）如图，圆心角弧度数为1rad的扇形OAB的半径r＝1，此扇形的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】把扇形的圆心角和半径的值代入扇形的面积公式，计算即可．
【解答】解：因为扇形的圆心角为α＝1，半径为r＝1，
所以扇形的面积为S扇形＝α r2＝×1×12＝．
故选：A．
3．（5分）＝（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】根据诱导公式，即可得解．
【解答】解：sin（3π+）＝﹣sin＝﹣．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）＝log4x﹣的零点所在区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝log4x﹣的连续增函数，∵f（3）＝log43﹣1＜0，f（4）＝log44﹣＞0，
可得f（3）f（4）＜0，
∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（3，4），
故选：C．
5．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|y＝log2（﹣x2+6x﹣8）}，则A∩B＝（ ）
A．[1，2） B．（2，3] C．[1，3] D．[1，4]
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：A＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，
由﹣x2+6x﹣8＞0，解得2＜x＜4，即B＝（2，4），
则A∩B＝（2，3]．
故选：B．
6．（5分）下列关于角的说法正确的是（ ）
A．若sinα＝sinβ，则α＝β
B．若角α和角β的终边相同，可以有sinα≠sinβ
C．第二象限角大于第一象限角
D．锐角是第一象限角
【分析】结合任意键的基本概念分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由sin30°＝sin150°可知A显然错误；
根据三角函数定义可知，当角α和角β的终边相同，一定有sinα＝sinβ，B错误；
由于120°为第二象限角，390°为第一象限角，C显然错误；
设α为锐角，则0，可知α为第一象限角，D正确．
故选：D．
7．（5分）已知A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝sin，x∈A}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由集合B的定义，代入集合A中元素求集合B，从而确定子集的个数．
【解答】解：当x＝1时，y＝sin＝1，
同理可得，
当x＝2，3，4时，y＝0，﹣1，0；
故B＝{﹣1，0，1}，共3个元素，
故集合B的子集个数为23＝8，
故选：B．
8．（5分）企业生产的产品只有不断地推陈出新，才能获得更好的利益，不会被市场所淘汰，为此某企业统计了2014年到2020年的产品研发费用x和销售额y的数据，如表：
统计年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
产品研发费用x（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7
销售额y（单位：万元） 22 33 41 47 49 53 56
通过对散点图（直角坐标系中作出（x，y）对应的点）的分析，以下函数模型中能比较近似地反应变量y与x的函数关系式的是（ ）
A．y＝kx+b B．y＝ax2+bx+c C．y＝kax+b D．y＝klogax+b
【分析】先画出散点图，然后由散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征分析判断即可
【解答】解：散点图如图所示，由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢，
对于A，此函数为线性函数，不合题意，所以A错误，
对于B，此函数为二次函数，若函数为开口向上的抛物线，则增长速度会变快，不合题意，所以B错误，
对于C，此函数为指数型函数，当a＞1时，增长速度会变快，不合题意，所以C错误，
对于D，此函数为对数型函数，当a＞1时，增长速度变慢，所以D符合题意，
故选：D．
9．（5分）已知f（x）＝sinx，将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则下列可作为函数g（x）图象的一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：f（x）＝sinx，
将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
可得y＝sin2x，
再将图象向左平移个单位得到函数g（x）的图像，
可得g（x）＝sin[2（x+）]＝sin（2x+），
则由2x+＝kπ+，解得：x＝+（k∈Z），
故选：A．
10．（5分）已知，a，b，c分别满足a＝cosαsinα，b＝cosαcosα，c＝sinαcosα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】由已知可得a＝（），b＝，c＝，然后利用函数函数y＝，函数y＝x的单调性即可判断求解．
【解答】解：因为，所以sin，cos，
所以a＝（），b＝，c＝，
因为函数y＝为单调递减函数，且，所以a＜b，
因为函数y＝x在（0，+∞）上为单调递增函数，所以b＜c，
所以a，b，c的大小关系为c＞b＞a，
故选：D．
11．（5分）已知f（x）＝，x∈[，π]，则＝（ ）
A． B．﹣4 C．0 D．
【分析】根据同角三角函数关系式化简后代入求值即可．
【解答】解：∵f（x）＝，x∈[，π]，
∴f（x）＝＝﹣＝||﹣||＝（﹣）﹣（﹣）＝﹣2tanx，
∴＝﹣2tan＝﹣2×（﹣）＝2，
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）满足，f（x）＝，则函数f（x）在[﹣5，5]上的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【分析】根据已知条件结合解析式分段讨论求解可得．
【解答】解：因为，所以，
当x∈[0，π]时，由sinx＝0可解得x＝0或x＝π，
当时，由tanx＝0，无解，
当时，，由 cosx＝0，无解，
当时，，无解，
当，则，解得或，
当时，，无解，
综上，f（x）在[﹣5，5]上的零点为共5个．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在0°～360°范围内与2021°终边相同的角为 221° ．
【分析】与2021°终边相同的角为k 360°+2021°，然后结合范围确定k的值，进而可求．
【解答】解：因为与2021°终边相同的角为k 360°+2021°，k∈Z，
当k＝﹣5时，符合题意，此时角为221°．
故答案为：221°．
14．（5分）已知角α的终边过点P（﹣2，m），且，则tanα＝ ．
【分析】根据三角函数的定义，先计算r，再利用正弦函数的定义求出m，进而求解结论．
【解答】解：因为角a的终边经过点P（﹣2，m），所以OP＝，
因为sina＝ ，
所以＝﹣，
所以m＝﹣（正值舍），
∴tanα＝＝．
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝，则关于实数m的不等式f（2m）＞f（m2）的解集为 （0，2） ．
【分析】先确定各段函数的单调性，然后结合分段函数的性质确定f（x）的单调性，结合单调性即可求解不等式．
【解答】解：当x≥0时，y＝x2+1单调递增，当x＜0时y＝ex单调递增，且函数在x＝0处连续，
故函数f（x）在R上单调递增，
由f（2m）＞f（m2）得2m＞m2，
解得0＜m＜2．
故答案为：（0，2）．
16．（5分）下列关于函数的叙述，正确的有 ①②④ .（填正确答案所对应的序号）
①若ω＝2，则函数f（x）的最小正周期T＝π；
②函数f（x）的最大值为3，最小值为﹣1；
③若函数g（x）＝f（x+φ）（φ∈R），则函数g（x）可以为奇函数；
④若满足f（x1）＝0，f（x2）＝2，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝1．
【分析】结合正弦型函数的图象和性质对四个命题逐一进行判断．
【解答】解：①若ω＝2，则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，因此正确；
②∵﹣1≤sin（ωx+）≤1，则函数f（x）的最大值为3，最小值为﹣1，因此正确；
③函数g（x）＝f（x+φ）＝2sin（ωx+ωφ+）+1（φ∈R），
由函数g（x）的对称中心可知g（x）不可能关于（0，0）对称，
所以g（x）不可以为奇函数，故③错误；
④若满足f（x1）＝0，f（x2）＝2，
则2sin（ωx1+）+1＝0，2sin（ωx2+）+1＝2，
所以sin（ωx1+）＝﹣，sin（ωx2+）＝，
所以ωx1+＝﹣+2k1π，ωx2+＝+2k2π，k1，k2∈Z，
所以|（ωx1+）﹣（ωx2+）|＝|（﹣+2k1π）﹣（）|，
即|ωx1﹣ωx2|＝|﹣﹣2k2π|＝|+2（k2﹣k1）π|，
因为|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝1，因此④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A，B是两个非空集合，定义运算A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．
（1）若A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，求A﹣B和A*B；
（2）若A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，求A﹣B和A*B．
【分析】根据定义运算A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．A﹣B中的元素是集合A中的元素并且不能属于集合B，即A中去掉B中的元素；A*B中的元素是集合A∪B中的元素并且不能属于集合A∩B，即A∪B中去掉A∩B中的元素．
【解答】解：（1）由A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，
可得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{3，4}，
∴A﹣B＝{1，2}，
A*B＝{1，2，5，6}．
（2）由A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，
可得A∪B＝{x|x≥1}，A∩B＝{x|2≤x≤3}，
∴A﹣B＝{x|1≤x＜2}，
A*B＝{1≤x＜2或x＞3}．
18．（12分）已知．
（1）化简f（x）；
（2）若，α∈（0，），求sinα，cosα的值．
【分析】（1）利用诱导公式化简可得f（x）＝；
（2）结合（1）中所得，与同角三角函数的基本关系式，即可得解．
【解答】解：（1）f（x）＝＝＝．
（2）＝，所以tanα＝＝，
又α∈（0，），且sin2α+cos2α＝1，
所以sinα＝，cosα＝．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax+a﹣x（a＞1），且．
（1）求a的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（2）用定义证明函数f（x）为[0，+∞）上的增函数．
【分析】（1）由代入法和二次方程的解法，可得a的值；再由偶函数的定义，计算可得结论；
（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性和不等式的性质，可得证明．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax+a﹣x（a＞1），且，
可得a+＝，即3a2﹣10a+3＝0，因为a＞1，解得a＝3；
f（x）＝3x+3﹣x，定义域为R，
f（﹣x）＝3﹣x+3x＝f（x），所以f（x）为偶函数；
（2）证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝3x1+3﹣x1﹣（3x2+3﹣x2）＝（3x1﹣3x2）（1﹣），
因为0≤x1＜x2，所以3x1﹣3x2＜0，3x1 3x2＞1，1﹣＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）为[0，+∞）上的增函数．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且函数图象过点（，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象，并直接写出函数f（x）的单调递减区间和对称轴．
【分析】（1）根据函数的周期，函数图象过点（，2），即可求出函数的解析式；
（2）根据正弦函数图象的五个关键点列表，再由正弦函数的图象进行描点、连线，观察图象并写出函数f（x）的单调区间及函数对称轴．
【解答】解：（1）由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，
∵f（）＝2sin（+φ）＝2，
∴sin（+φ）＝1，
∵|φ|＜），
∴﹣＜+φ＜，
∴+φ＝，
解得φ＝，
∴f（x）＝2sin（2x+）；
（2）列表
2x+ 0 π 2π
x ﹣
2sin（2x+） 0 2 0 ﹣2 0
图象如图所示，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），
对称轴为x＝+（k∈Z）．
21．（12分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，单位为℃，k为常数），假设一杯开水的初始温度θ1＝90℃，环境温度θ0＝10℃，常数．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1．）
（1）大约经过几分钟水温降为40℃；
（2）经过1.8分钟水温大约降为多少？
【分析】（1）由题意可得，t＝﹣6lnl，再结合对数函数的公式，即可求解．
（2）由题意可得，1.8＝﹣6ln，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，t＝﹣6lnl＝＝﹣6（ln3﹣3ln2）≈﹣6（1.1﹣3×0.7）＝6，
故大约6分钟水温降为40°C．
（2）由题意可得，1.8＝﹣6ln，
∴，即，
∴≈1.8≈ln6，
∴θ＝70
故经过1.8分钟水温大约降为70°C．
22．（12分）若存在a，b∈R使得函数f（x）和g（x）满足g（x）＝f（x+a）+b，则称函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数．
（1）探究：若f（x）＝sinx﹣cosx，g（x）＝sinx+cosx+1，是否存在a∈（0，π），b∈R使得函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数．若存在，求出a，b的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，函数h（x）＝f（x） [g（x）﹣1]﹣m[f（x）+g（x）]，若对任意的x∈[，]，不等式h（x）≥2m﹣恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）存在；当a＝，b＝1时，函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数，利用定义即可证明；
（2）依题意，得sin2x﹣2msinx﹣3m≥0在x∈[，]上恒成立，令sinx＝t，t∈[，1]，F（t）＝t2﹣2mt﹣3m，分m≤、＜m＜1两类讨论，可分别求得F（t）min，令F（t）min≥0，即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）存在．当a＝，b＝1时，函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数，证明如下：
f（x+）+1＝sin（x+）﹣cos（x+）+1＝cosx+sinx+1＝g（x）．
（2）h（x）＝f（x） [g（x）﹣1]﹣m[f（x）+g（x）]＝（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）﹣2msinx﹣m＝（sin2x﹣cos2x）﹣2msinx﹣m＝sin2x﹣2msinx﹣﹣m，
不等式h（x）≥2m﹣在x∈[，]上恒成立，即sin2x﹣2msinx﹣﹣m≥2m﹣在x∈[，]上恒成立，即sin2x﹣2msinx﹣3m≥0在x∈[，]上恒成立，
令sinx＝t，t∈[，1]，∴t2﹣2mt﹣3m≥0在t∈[，1]上恒成立，令F（t）＝t2﹣2mt﹣3m，
当m≤时，F（t）在[，1]上单调递增，F（t）min＝F（）＝﹣4m≥0，∴m≤，当m≥1时，F（t）在[，1]上单调递减，F（t）min＝F（1）＝1﹣5m≥0，∴m≤（舍），
当m∈（，1）时，F（t）在[，m]上单调递减，在[m，1]上单调递增，F（t）min＝F（m）＝﹣m2﹣3m≥0，∴﹣3≤m≤0（舍），
综上所述，实数的取值范围为（﹣∞，]．四川省成都市蓉城高中教育联盟2021-2022学年高一上学期
期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求.
1．（5分）75°用弧度制表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）如图，圆心角弧度数为1rad的扇形OAB的半径r＝1，此扇形的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（5分）＝（ ）
A．0 B． C． D．
4．（5分）函数f（x）＝log4x﹣的零点所在区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
5．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|y＝log2（﹣x2+6x﹣8）}，则A∩B＝（ ）
A．[1，2） B．（2，3] C．[1，3] D．[1，4]
6．（5分）下列关于角的说法正确的是（ ）
A．若sinα＝sinβ，则α＝β
B．若角α和角β的终边相同，可以有sinα≠sinβ
C．第二象限角大于第一象限角
D．锐角是第一象限角
7．（5分）已知A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝sin，x∈A}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（5分）企业生产的产品只有不断地推陈出新，才能获得更好的利益，不会被市场所淘汰，为此某企业统计了2014年到2020年的产品研发费用x和销售额y的数据，如表：
统计年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
产品研发费用x（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7
销售额y（单位：万元） 22 33 41 47 49 53 56
通过对散点图（直角坐标系中作出（x，y）对应的点）的分析，以下函数模型中能比较近似地反应变量y与x的函数关系式的是（ ）
A．y＝kx+b B．y＝ax2+bx+c C．y＝kax+b D．y＝klogax+b
9．（5分）已知f（x）＝sinx，将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则下列可作为函数g（x）图象的一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知，a，b，c分别满足a＝cosαsinα，b＝cosαcosα，c＝sinαcosα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
11．（5分）已知f（x）＝，x∈[，π]，则＝（ ）
A． B．﹣4 C．0 D．
12．（5分）已知函数f（x）满足，f（x）＝，则函数f（x）在[﹣5，5]上的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在0°～360°范围内与2021°终边相同的角为 ．
14．（5分）已知角α的终边过点P（﹣2，m），且，则tanα＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝，则关于实数m的不等式f（2m）＞f（m2）的解集为 ．
16．（5分）下列关于函数的叙述，正确的有 .（填正确答案所对应的序号）
①若ω＝2，则函数f（x）的最小正周期T＝π；
②函数f（x）的最大值为3，最小值为﹣1；
③若函数g（x）＝f（x+φ）（φ∈R），则函数g（x）可以为奇函数；
④若满足f（x1）＝0，f（x2）＝2，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝1．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A，B是两个非空集合，定义运算A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．
（1）若A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，求A﹣B和A*B；
（2）若A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，求A﹣B和A*B．
18．（12分）已知．
（1）化简f（x）；
（2）若，α∈（0，），求sinα，cosα的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax+a﹣x（a＞1），且．
（1）求a的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（2）用定义证明函数f（x）为[0，+∞）上的增函数．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且函数图象过点（，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象，并直接写出函数f（x）的单调递减区间和对称轴．
21．（12分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，单位为℃，k为常数），假设一杯开水的初始温度θ1＝90℃，环境温度θ0＝10℃，常数．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1．）
（1）大约经过几分钟水温降为40℃；
（2）经过1.8分钟水温大约降为多少？
22．（12分）若存在a，b∈R使得函数f（x）和g（x）满足g（x）＝f（x+a）+b，则称函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数．
（1）探究：若f（x）＝sinx﹣cosx，g（x）＝sinx+cosx+1，是否存在a∈（0，π），b∈R使得函数g（x）为f（x）的（a，b）型“同形”函数．若存在，求出a，b的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，函数h（x）＝f（x） [g（x）﹣1]﹣m[f（x）+g（x）]，若对任意的x∈[，]，不等式h（x）≥2m﹣恒成立，求实数m的取值范围．
