高中数学人教新课标A版选修1- 1 3.3 导数在研究函数中的应用(word含答案解析)

3.3 导数在研究函数中的应用
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图是函数 的导函数 的图象，则下列判断正确的是
A. 在 上， 是增函数
B. 在 上， 是减函数
C. 在 上， 是增函数
D. 在 上， 是增函数
2. 已知函数 的定义域为 ，部分对应值如表．
的导函数 的图象如图所示．当 时，函数 的零点的个数为
A. B. C. D.
3. 若函数 在区间 上的最大值是 ，则 的值为
A. B. C. D.
4. 若函数 的导函数在区间 上是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ，若 且满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ，若 在 上恒成立， 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知函数 在 处有极值 ，则 ， 的值为
A. ， B. ， 或 ，
C. ， D. 以上都不正确
9. 函数 在 上有极小值，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
10. 函数 ，关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则正数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知函数 ，则函数 的单调递减区间为 ．
12. 已知函数 的定义域为 ，它的导函数 的图象如图所示，则函数 的极值点有 个．
13. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的单调减区间是 ．
14. 已知函数 的值域与函数 的值域相同，则 的取值范围为 ．
15. 已知函数 ，无论 取何值，函数 在区间 上总是不单调，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 如图是函数 在区间 上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
17. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值．
18. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 ， 时，证明：．
答案
第一部分
1. C 【解析】由题图知，当 时， 有正有负，故 不单调，A，B错误；
当 时，，所以在 上， 是增函数，C正确；
当 时，，所以在 上， 是减函数，D错误．
2. D 【解析】根据导函数图象，知 是函数的极小值点，函数 的大致图象如图所示．
由于 ，
，所以 的零点个数为 ．
3. B 【解析】易得 ，
令 ，解得 （舍去）或 ．
又 ，，，
则 最大，
所以 ，
所以 ．
4. A 【解析】因为函数 的导函数 在区间 上是增函数，即在区间 上各点处的斜率 是递增的，由图知选A．
5. A
【解析】因为函数 ，
若 且满足 ，则 且由 ，得 ，
又 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时，，
所以 在 上单调递减，
所以 ．
即 的取值范围是 ．
6. D
7. B 【解析】若 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
故只需 即可，
，
令 ，得 ，
当 时，；
当 时，，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
8. A 【解析】函数的导数为 ，
因为函数 在 处有极值 ，
所以 且 ，
即 解得 或
当 ， 时，，
此时函数单调递增，没有极值，所以不满足题意，舍去．
当 ， 时，，易得 是 的极值点，满足题意．
9. D 【解析】对于函数 ，求导可得 ．
因为函数 在 上有极小值，
所以 的一个实数根在 上．
时， 的两个实数根为 ，若有一个实数根在 上，则 ，即 ，此时 在 上有极小值．
时， 的两个实数根相等，均为 ， 在 上无极小值．
时， 无实数根， 在 内无极小值．
综上可得，实数 的取值范围为 ．
10. D
【解析】，
令 ，得 或 ，
当 时，，函数 在 上单调递增，且 ；
当 时，，函数 在 上单调递减；
当 时，，函数 在 上单调递增；
所以函数 的极大值为 ，极小值为 ，作出大致图象，如图．
令 ，则方程 等价于 ．
由于方程 恰有四个不同的实数根，故方程 有两个不同的实数根．
由韦达定理知， 和 ，
所以一个根在 上，另一个根在 上，或者两个根都在 上．
因为两根之和 为正数，所以两个根不可能都在 上．
令 ，因为 ，所以只需 ，即 ，得 ，即 的取值范围为 ．
第二部分
11. ，
【解析】易得 ，
令 ，解得 或 ．
所以函数 的单调递减区间为 ，．
12.
【解析】由导函数的图象可知，
函数的单调递增区间为 ，，
单调递减区间为 ，
所以 为极大值点， 为极小值点，
所以函数 的极值点有 个．
故答案为：．
13. ，
14.
【解析】因为 ，
所以 ，
由于 ，故函数 在 上为减函数，
又 ，故当 时，，当 时，，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且当 时，，当 时，，
故函数 的值域为 ，
作出函数 的草图如图所示，
由图可知，要使函数 的值域与函数 的值域相同，则需 ，解得 ．
15.
【解析】对于函数 ，其导函数 ，
当 或 时，，
当 时，，
所以 一定存在单调递增区间，若无论 取何值，函数 在区间 上总是不单调，
则 不能为单调递增函数，
所以 ，
解得 ．
第三部分
16. 观察函数图象可知 在 ， 处取极小值，在 处取极大值，
所以极小值为 ，，极大值为 ；
比较极值和端点值可知函数的最小值是 ，最大值在 处取得，最大值为 ．
17. （1） 因为函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
则 ，
令 ，解得 ．
当 变化时，， 的变化情况如表所示：
因此，当 时，
有极小值，也是最小值，为 ，
又 ，，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
18. （1） 函数 的定义域为 ，
，
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
当 时，由 ，
解得 ，
由 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2） 令 ，
则 ，
，
再令 ，
则 ，
当 时，，，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
综上可知，．
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