高中数学人教新课标A版选修2-2 3.2 复数代数形式的四则运算(word含答案解析)

3.2 复数代数形式的四则运算
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 实数 ， 满足 ，，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
2. 若复数 与 互为共轭复数，则复数 的模
A. B. 5 C. 7 D. 13
3. ，，， 中纯虚数的个数为
A. B. C. D.
4. 设 ，，，若 为纯虚数，则实数 的值为
A. B. C. D. 或
5. 若复数 满足 ，则 等于
A. B. C. D.
6. 若复数 满足 （其中 为虚数单位），则
A. B. C. D.
7. 设有下面四个命题
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 ， 满足 ，则 ；
：若复数 ，则 ．
其中的真命题为
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知 （）为“理想复数”，则
A. B. C. D.
9. 在实数集 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数 ，， 当且仅当“”或“ 且 ”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，，则 ；
③若 ，则对于任意 ，；
④对于复数 ，若 ，则 ．
其中所有真命题的个数为
A. B. C. D.
10. 复数 满足条件 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 设 ，若 ，，则 ．
12. 设复数 ，，且 ，则 ．
13. 【课本练习13.3（1）】判断下列命题的真假：
（） 是 的共轭复数；
（）如果 是实数，那么 ， 互为共轭复数；
（）纯虚数 的共轭复数是 ．
14. 已知复数 ，若 ，则 ．
15. 已知 为虚数单位，则．
（） ；
（） ；
（）已知复数 ，，其中 ，若复数 ，且复数 对应的点在第三象限，则 的取值范围为 ；
（）在复平面内，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，若复数 ，则复数 对应的点在第 象限．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 对任意的复数 ，，证明：
（1）；
（2）；
17. 已知 ，．
（1）求 ．
（2）若 ，求 ．
18. 复数 ，其中 ．
（1）若 ，求 的模；
（2）若 是实数，求实数 的值．
答案
第一部分
1. A 【解析】，
所以
所以 ．
所以 ．
2. A 【解析】 复数 与 互为共轭复数，
，
．
3. B 【解析】因为 ，，，
所以纯虚数有 和 ，共 个．
故选B．
4. A
5. D
【解析】．
6. D 【解析】设 （），
因为 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
7. B 【解析】令 ，则由 得 ，所以 ， 正确；
由 ， 知， 不正确；
由 ， 知 不正确；
显然正确．
8. D 【解析】因为 ．
由题意知，，
则 ．
9. B 【解析】对于复数 ， 显然满足 ，但 ，，不满足 ，故①不正确；
设 ，，，由 ， 可得“”或“ 且 ”，故②正确；
设 ，，，由 可得“”或“ 且 ”．显然有“”或“ 且 ”，从而 ．故③正确；
对于复数 ， 显然满足 ，令 ，则 ，，
显然不满足 ，故④错误．
综上②③正确．
10. C
【解析】由 ，得
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 时， 取得最小值 ．
第二部分
11.
【解析】因为 ，
所以 ．
12.
13. 假命题，假命题，真命题
14.
【解析】因为 ，所以 ，，，所以 的周期 ，所以
所以 ，，．
15. ，，，四
【解析】（），
（）．
（）因为 ，，
所以 ，
又复数 对应的点在第三象限，
所以
所以 且 ，
所以 ，故 的取值范周为 ．
（）因为复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，
所以 ，，
又复数 ，
所以 ，
所以复数 对应的点为 ，在第四象限．
第三部分
16. （1） 略
（2） 略
17. （1） ．
（2） 由 ，得 ，
．
18. （1） ，则 ，
则 ，
所以 的模为 ．
（2）
因为 是实数，所以 ，解得 或 ．
故 或 ．
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