2021-2022学年华东师大版九年级数学上册《23.1成比例线段》期末复习分类训练（word版含解析）

2021-2022学年华师大版九年级数学上册《23.1成比例线段》期末复习分类训练（附答案）
一．比例的性质
1．阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：＝＝（x+y+z≠0），求的值．
2．已知＝＝≠0，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
3．我们知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
4．已知x＝，求x的值．
二．比例线段
5．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
6．说说理由．已知线段a、b、c、d（b≠d，b+d≠0），如果，那么成立吗？为什么？
三．黄金分割
7．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．已知线段AB＝a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′＝　 　．
9．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
10．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
11．已知线段AB＝10cm，P、Q是线段AB的黄金分割点，则PQ＝　 　．
12．已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝　 　；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
四．平行线分线段成比例
13．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．
（1）求线段BF的长；
（2）求AE：EC的值．
15．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
16．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC＝9，DB＝4，AE＝5，求AD的长．
17．如图，AD是△ABC的中线，CF交AD于E，交AB于F．求证：AE FB＝2DE AF．
18．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
参考答案
一．比例的性质
1．解：设＝＝＝k，
则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y＝z，
则＝﹣．
2．解：（1）由＝＝≠0，得
y＝，z＝．
＝＝＝3；
（2）＝＝＝7．
3．解：（1）∵，b+d＝0，
∴a+c＝0；
（2）①当a+b+c≠0时，＝＝2，
∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，
②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴＝﹣1，
∴t2﹣t﹣2＝0．
4．解：分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x＝＝；
当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，x＝﹣1．
故x的值为﹣1或．
二．比例线段
5．解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
即x的值为2．
6．解：如果，那么成立．理由如下：
设＝k，则＝k，
由等比性质得：＝k，＝k，
∴．
故当时，．
三．黄金分割
7．解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，
∴她下半身的长度为92cm，
设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，
根据题意得≈0.618，
解得x≈8.3（cm）．
经检验x＝8.3为原方程的解，
所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．
故选：C．
8．解：∵线段AB＝a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，
∴较小线段AC′＝BC＝a，
则CC′＝AB﹣AC′﹣BC＝a﹣2×a＝（﹣2）a．
故答案是：（﹣2）a．
9．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
10．解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，
∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝．
∴＝．
∴D是AB边上的黄金分割点；
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC＝AD h，S△DBC＝DB h，S△ABC＝AB h，
∴＝，＝．
∵D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∴＝．
∴CD是△ABC的黄金分割线．
11．解：根据黄金分割点的概念，可知AQ＝BP＝×10＝（5﹣5）cm．
则PQ＝AQ+BP﹣AB＝（5﹣5）×2﹣10＝（10﹣20）cm．
故本题答案为：（10﹣20）cm．
12．解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，
∴AD＝AB＝（5﹣5）cm，
故答案为：（）cm；
（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，
连接BC，则△ABC即为所求；
（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，
∴底边AD＝乘腰AB，
∴三角形ABC是黄金三角形．
四．平行线分线段成比例
13．解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．
14．解：（1）作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC＝，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝4，
∵DF垂直平分AB，
∴BD＝，∠BDF＝90°
∵∠ABH＝∠FBD，
∴Rt△FBD∽Rt△ABH，
∴＝＝，即＝＝，
∴BF＝5，DF＝2；
（2）作CG∥AB交DF于G，如图，
∵BF＝5，BC＝4，
∴CF＝1，
∵CG∥BD，
∴＝＝，
∵CG∥AD，
∴＝＝＝5．
15．解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，
∴FC∥AD，
∴△CNF∽△AND，
∴＝＝．
16．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD+EC＝9，DB＝4，AE＝5，
∴EC＝9﹣AD，
∴＝，
解得：AD＝4或5，
答：AD的值是4或5．
17．证明：如图，过点D作DN∥CF，交AB于点N．
∵DC＝DB
∴FN＝NB＝，
∵DN∥CF，
∴AF：FN＝AE：DE，
即AF：，
∴AE FB＝2DE AF．
18．（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴
∵CD∥EF
∴
∴＝
∴；
（2）关系式为：
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：
∴＝
即＝
又∵ BD AM＝S△ABD，＝S△BCD
∴BD EN＝S△BED
∴．