2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.6正多边形和圆同步能力达标测评（Word版含解析）

2.6正多边形与圆
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（　　）
A．2 B．1 C． D．
2．如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ）
A．110° B．135° C．55° D．125°
3．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）．
A． B． C． D．
4．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a+b D．ab
5．一个正多边形的边长为2，它的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的周长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
6．如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（　　）
A．六 B．八 C．十 D．十二
7．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（　　）
A．12 B．6 C．6 D．3
8．半径为R的圆内接正多边形中，下列图形边心距最大的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
二．填空题
9．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则这个正多边形的边数为 　 　．
10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝____________．
11．如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．
12．如图，五边形为的内接正五边形，则________．
13．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．
14．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm．
三．解答题
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．
17一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
（1）若a＝6，求b的值；
（2）若b＝30，求a的值．
18．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB r1+AC r2＝AB h，∴r1+r2＝h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于　 　；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
19．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
20．如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；
（2）在图②中画圆的一个内接正八边形.
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，
故选：C．
2．D
【解析】解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
3．B
【解析】根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为．
4．D
【解析】解：如图所示：
在正八边形中，最长的对角线为AE＝BF＝CG＝DH＝a，
最短的对角线为AC＝BD＝CE＝DF＝EG＝FH＝GA＝HB＝b，
按图所示进行割补得，
S正八边形ABCDEFGH＝S四边形PQMN＝ab．
故选：D．
5．解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
∵这个正多边形的边长为2，
∴这个正多边形的周长为16．
故选：D．
6．解：连接OA，OB，OC．
由题意，∠AOB＝＝90°，∠BOC＝＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：D．
7．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是2，
∴⊙O的半径为2，
∴正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的周长是：1×6＝6；
故选：C．
8．解：如图所示，OB＝OA＝R；
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD＝60°×＝30°，
∴边心距OD＝R，
如图，延长AD交边于点E，连接OF，
∵OF＝R，
∴EO＝EF＝R，
同法可得，正五边形的边心距＝Rcos36°，正六边形的边心距＝R，
∵R＜R＜R，
故选：D．
9．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．
10．45°
【解析】连接OA、OB、OC；
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为
∵OA=OB，∠OAM=∠OBN，AM=BN，
∴△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠MOB=∠NOC；
故答案为
11．
【解析】四边形是的内接四边形
，
四边形是平行四边形，
故答案为：
12．36°
【解析】解：解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAE=，
∴∠ACB=∠BAC=36°，
同理∠EAD=36°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
故答案为：36°．
13．9
【解析】∵正n边形的中心角＝＝40°，
n＝＝9．
故答案为9．
14解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝3，
∴AD＝2CD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF＝S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积＝S扇形DAD′＝＝3π，
故答案为：3π．
15 解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝3，得CD＝1.5．
a＝，
故答案为：．
三．解答题
16证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵＝，
∴+＝+，即＝，
∴BM＝CM．
17．解：（1）∵正多边形的周长为60，边长为6，
∴边数为＝10，
∵一个外角为b°，
∴b＝＝36；
（2）∵一个外角为b°，b＝30，
∴＝12，
∵正多边形的周长为60，边长为a，
∴a＝＝5．
18．解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD＝
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC．
∴AB r1+BC r2+AC r3＝BC×AD，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝AD．
∴r1+r2+r3＝
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，
∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．
故答案为4．
（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，
∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，
∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn＝×n，
∴r1+r2+…+rn＝nr＝（定值）．
19．解：如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝30°，
∴AF＝2×．
∴OH＝AF+FH﹣OA＝﹣r．
在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2．
∴（2+﹣r）2+12＝r2．
解得r＝2．
∴该圆的半径长为2．