2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.6利用相似三角形测高寒假自主提升训练（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.6利用相似三角形测高》
寒假自主提升训练（附答案）
1．有一块直角边AB＝3cm，BC＝4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
2．有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（　　）
A．① B．② C．一样大 D．无法判断
4．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　）
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
5．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
6．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（　　）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
7．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　米．
8．如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是　 　．
9．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　 　．
10．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则AB+BC＝　 　．
11．图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为　 　厘米；当支架从E档调到F档时，点D离水平面的距离下降了　 　厘米．
12．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　 　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
13．（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是　 　．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
15．猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．
（1）如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；
（2）如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；
（3）如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；
（4）猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？
（已知：AC＝40，BC＝30，∠C＝90°）
16．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
17．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
18．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
19．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m，量得CC′为12m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求树高．
20．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
参考答案
1．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝AB BC＝AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x＝，
故选：D．
2．解：如图当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，
EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝．
∵BC＝15cm，AD＝12cm，小长方形邻边长分别为5cm和2cm
∴＝
解得：AG＝4，
∴GD＝8cm，
∵小正方形的宽为2cm，
∴能分割4层小长方形，
∵BC＝15cm，
∴最底层能裁两个小长方形，
故共裁1+1+2+2＝6个小长方形．
故选：D．
3．解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，
如图①，设加工桌面的边长为xcm，
∵DE∥CB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝（cm）；
如图②，设加工桌面的边长为ycm，
过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，
∵AC＝1cm，BC＝2cm，
∴AB＝＝，
∵△ABC的面积为1cm2，
∴CM＝cm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得：y＝cm，
∵x2＝＝，y2＝，
∴x2＞y2，
即S1＞S2，
故选：A．
4．解：作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，
根据题意得＝，即＝，解得AE＝8，
所以AB＝AE+BE＝8+2＝10（m）．
答：旗杆的高度为10m．
故选：C．
5．解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ＝，
解得x＝5，
所以另一段长为25﹣5＝20，
因为20÷4＝5，所以是第5张．
故选：B．
6．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即＝
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
7．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，
∵AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝1.6米，
∴＝，
∴AC＝8（米），
故答案为8．
8．解：∵两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面，
∴△ABD∽△EFD，△BCD∽△BEF，
∴＝，＝，
∴+＝+，
即+＝1，
解得EF＝3．
故答案为：3．
9．解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴＝，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝＝．
故答案为．
10．解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝25（米），BN＝10（米），
∴AB＝AN﹣BN＝15（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10米，PB＝EF＝15米，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴＝＝，
∴设MH＝3x米，CH＝5x米，
∵CQ＝（5x﹣10）米，BQ＝FH＝（3x+2）米，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴＝，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20米，
∴BC＝20（米），
∴AB+BC＝15+20＝35（米），
故答案为：35米．
11．解：如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，
∴BK＝KE＝2（cm），
∴OK＝＝＝1.5（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），
∴AD＝＝＝（cm），
∵DT∥GH，
∴＝，
∴＝
∴GH＝（cm），
如图3﹣1中，当支架调到F档时，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，
∴BK＝KF＝2.4（cm），
∴OK＝＝＝0.7（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴＝，
∴＝，
∴DT＝（cm），
∵3.6﹣＝（cm），
∴点D离水平面的距离下降了cm，
故答案为，．
12．解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
13．解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．
（2）∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由（1）知，∠CPD＝90°，
∴∠APD+∠BPC＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△APD∽△BPC，
∴＝，即＝，
解得：AP＝2或AP＝6．
故答案为：2或6．
14．解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需＝，即＝，
解得AF＝1或3；
当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需＝，即＝，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3．
（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；
连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．
（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m＝3时，有2个；
当m＝4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
15．解：（1）在图1中作△ABC的高CN交GF于M，
在Rt△ABC中，∵AC＝40，BC＝30，∴AB＝50，CN＝24．
由GF∥AB，得△CGF∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为x，则，
解得．
即正方形的边长为．
（2）方法同（1），如图2．
△CGF∽△CAB，则．
设小正方形的边长为x，
则，
解得．
即小正方形的边长为．
（3）在图3中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴＝，
设每个正方形的边长为x，
则＝，
∴x＝；
（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：
则＝，
则x＝．
∴每个小正方形的边长为．
16．解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
17．解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∴FG＝GD+DF＝4m．
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．
18．解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴＝＝＝，
∵MT∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
19．解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴，
解得．
∴这棵古树的高为10m．
20．解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°
∴∠MFB＝30°
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝米
∵BE⊥CB，MF⊥BE
∴BH∥MF
∴△EBH∽△EMF
∴＝
又∵EB＝1.8米
∴＝
∴BH＝
∵BE∥CD
∴△HBE∽△HCD
∴＝
∵CB＝5
∴＝
∴CD＝15.8米
∴大树CD的高度为15.8米．