2021-2022学年人教版九年级数学下册 27.2相似三角形 期末复习自主提升训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册 27.2相似三角形 期末复习自主提升训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 246.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 10:20:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》期末复习自主提升训练（附答案）
1．一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
3．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B． C．4：9 D．9：4
4．若两个三角形的相似比为1：2，则它们的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
5．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在△ABC内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（ ）个小正方形纸片．
A．14个 B．15个 C．16个 D．17个
7．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DC＝4，BC＝9，则AC为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的面积比为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF＝ ．
11．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣8，AB为半圆的直径，点M为半圆的圆心，点P为x轴正半轴上的一点，若△COP∽△CPD，则点P的坐标是 ．
12．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 ．
13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，则OF的长为 ．
14．已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为 ．
15．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝25，BC＝15，则BD的长为 ．
16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．
求证：．
17．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AC＝6，AD＝2，求AB？
19．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
21．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
23．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．
（1）画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似；
（2）运用所学知识证明△DEF与△ABC相似．
参考答案
1．解：设它的最大边长为xcm，
∵两个四边形相似，
∴＝，
解得，x＝20，
故选：C．
2．解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴＝（）2，
解得，x＝64，
故选：C．
3．解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
4．解：∵两个三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4，
故选：B．
5．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
6．解：作CF⊥AB于点F．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则由勾股定理，得AB＝10
∵S△ABC＝AB CF＝AC BC
∴CF＝4.8．
则小正方形可以排4排．
最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E．
∵DE∥AB，
＝，＝，
解得：DE＝整数部分是7．
则最下边一排是7个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．
＝，
解得GH＝整数部分是5，
则第二排是5个正方形；
同理：第三排是：3个；
第四排是：1个．
则正方形的个数是：7+5+3+1＝16．
故选：C．
7．解：设正方形的边长为xmm，
则AK＝AD﹣x＝80﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48mm，
故选：C．
8．解：由射影定理得，
AC2＝CD CB＝4×9＝36，
∴AC＝6．
故选：B．
9．解：把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，
则原图形与新图形的相似比为1：3，
∴原图形与新图形的面积比为1：9，
故答案为：1：9．
10．解：延长GF交BC于M，
∵四边形AEFG和ABCD是矩形，
∴GF∥AE，
∵AB⊥BC，
∴GM⊥BC，
分两种情况：
①当AD与AG对应时，
∵相似比为，
∴，
∵AB＝12，AD＝BC＝9，
∴EF＝AG＝BM＝6，GF＝AE＝8，
∴FM＝12﹣8＝4，CM＝9﹣6＝3，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF＝＝5，
②当AD与AE对应时，
∵相似比为，
∴，
∴，
∴AG＝8，AE＝6，
∴FM＝12﹣6＝6，CM＝9﹣8＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF＝＝，
故答案为：5或．
11．解：如图所示，连接CM，
令y＝0，则x2﹣3x﹣8＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴AO＝2，BO＝8，
∴AB＝10，CM＝5，OM＝3，
∴Rt△COM中，OC＝4，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴OD＝8，
若△COP∽△CPD，则∠COP＝∠CPD＝90°，
又∵OP⊥CD，
∴OP2＝CO×OD，
即OP＝＝4，
又∵点P为x轴正半轴上的一点，
∴点P的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
12．解：由图可得，∠BAC＝∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：DE∥BC，则∠ABC＝∠ADE，
则△ADE∽△ABC，
故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝6，
∴AC＝＝6，
∴OA＝OC＝3，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴＝＝2，
∴CF＝AC＝2，
∴OF＝OC﹣CF＝，
故答案为：．
14．解：设旗杆高为xm，
根据题意得，＝，
解得x＝15m．
故答案为：15．
15．解：由射影定理得，BC2＝BD AB，
则BD＝＝9，
故答案为：9．
16．证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴＝，∠D＝∠H，
∴△ADC∽△EHG，
∴．
17．证明；∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA＝90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE＝GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD AB，又AC＝6，AD＝2，
∴AB＝18．
19．解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴CD2＝AC BD．
20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
21．解：如图所示
∵四边形PQMN是矩形，
∴BC∥PQ，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
由于矩形长与宽的比为3：2，
∴分两种情况：
①若PQ为长，PN为宽，
设PQ＝3k，PN＝2k，
则，
解得：k＝2，
∴PQ＝6cm，PN＝4cm；
②PN为6，PQ为宽，
设PN＝3k，PQ＝2k，
则，
解得：k＝，
∴PN＝cm，PQ＝cm；
综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm．
22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由如下：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）由（2）得，CE＝AB＝3，
∵CE∥AD，
∴＝＝，
∴＝．
23．解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）证明：由勾股定理可得，AB＝，AC＝，DE＝2，DF＝2，
又∵BC＝2，EF＝4，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
1．一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
3．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B． C．4：9 D．9：4
4．若两个三角形的相似比为1：2，则它们的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
5．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在△ABC内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（ ）个小正方形纸片．
A．14个 B．15个 C．16个 D．17个
7．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DC＝4，BC＝9，则AC为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的面积比为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF＝ ．
11．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣8，AB为半圆的直径，点M为半圆的圆心，点P为x轴正半轴上的一点，若△COP∽△CPD，则点P的坐标是 ．
12．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 ．
13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，则OF的长为 ．
14．已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为 ．
15．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝25，BC＝15，则BD的长为 ．
16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．
求证：．
17．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AC＝6，AD＝2，求AB？
19．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
21．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
23．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．
（1）画一个格点△DEF，使△DEF与△ABC相似；
（2）运用所学知识证明△DEF与△ABC相似．
参考答案
1．解：设它的最大边长为xcm，
∵两个四边形相似，
∴＝，
解得，x＝20，
故选：C．
2．解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴＝（）2，
解得，x＝64，
故选：C．
3．解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
4．解：∵两个三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4，
故选：B．
5．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
6．解：作CF⊥AB于点F．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则由勾股定理，得AB＝10
∵S△ABC＝AB CF＝AC BC
∴CF＝4.8．
则小正方形可以排4排．
最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E．
∵DE∥AB，
＝，＝，
解得：DE＝整数部分是7．
则最下边一排是7个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．
＝，
解得GH＝整数部分是5，
则第二排是5个正方形；
同理：第三排是：3个；
第四排是：1个．
则正方形的个数是：7+5+3+1＝16．
故选：C．
7．解：设正方形的边长为xmm，
则AK＝AD﹣x＝80﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48mm，
故选：C．
8．解：由射影定理得，
AC2＝CD CB＝4×9＝36，
∴AC＝6．
故选：B．
9．解：把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，
则原图形与新图形的相似比为1：3，
∴原图形与新图形的面积比为1：9，
故答案为：1：9．
10．解：延长GF交BC于M，
∵四边形AEFG和ABCD是矩形，
∴GF∥AE，
∵AB⊥BC，
∴GM⊥BC，
分两种情况：
①当AD与AG对应时，
∵相似比为，
∴，
∵AB＝12，AD＝BC＝9，
∴EF＝AG＝BM＝6，GF＝AE＝8，
∴FM＝12﹣8＝4，CM＝9﹣6＝3，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF＝＝5，
②当AD与AE对应时，
∵相似比为，
∴，
∴，
∴AG＝8，AE＝6，
∴FM＝12﹣6＝6，CM＝9﹣8＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF＝＝，
故答案为：5或．
11．解：如图所示，连接CM，
令y＝0，则x2﹣3x﹣8＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴AO＝2，BO＝8，
∴AB＝10，CM＝5，OM＝3，
∴Rt△COM中，OC＝4，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴OD＝8，
若△COP∽△CPD，则∠COP＝∠CPD＝90°，
又∵OP⊥CD，
∴OP2＝CO×OD，
即OP＝＝4，
又∵点P为x轴正半轴上的一点，
∴点P的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
12．解：由图可得，∠BAC＝∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：DE∥BC，则∠ABC＝∠ADE，
则△ADE∽△ABC，
故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝6，
∴AC＝＝6，
∴OA＝OC＝3，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴＝＝2，
∴CF＝AC＝2，
∴OF＝OC﹣CF＝，
故答案为：．
14．解：设旗杆高为xm，
根据题意得，＝，
解得x＝15m．
故答案为：15．
15．解：由射影定理得，BC2＝BD AB，
则BD＝＝9，
故答案为：9．
16．证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴＝，∠D＝∠H，
∴△ADC∽△EHG，
∴．
17．证明；∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA＝90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE＝GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD AB，又AC＝6，AD＝2，
∴AB＝18．
19．解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴CD2＝AC BD．
20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
21．解：如图所示
∵四边形PQMN是矩形，
∴BC∥PQ，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
由于矩形长与宽的比为3：2，
∴分两种情况：
①若PQ为长，PN为宽，
设PQ＝3k，PN＝2k，
则，
解得：k＝2，
∴PQ＝6cm，PN＝4cm；
②PN为6，PQ为宽，
设PN＝3k，PQ＝2k，
则，
解得：k＝，
∴PN＝cm，PQ＝cm；
综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm．
22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由如下：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）由（2）得，CE＝AB＝3，
∵CE∥AD，
∴＝＝，
∴＝．
23．解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）证明：由勾股定理可得，AB＝，AC＝，DE＝2，DF＝2，
又∵BC＝2，EF＝4，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF．